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1、初高衔接[2]十字相乘法与猜根因式分解中还有一类最常见的就是对二次三项式QX例1・分解因式：6%2—13兀+6；(^)4x~+4x—15；⑶10~—2xy+~；—8q2兀-—1cix+1・+bx+C的分解，最简单有效的方法是十字相乘法(注意，并不是所有二次三项式都能分解).初中时，对0=1的情况关注较多，我们重点练习Q却的情况.这是高中必备基木功，需要熟练掌握.工皐相乘的思路很简单，如果ax2+Zzx+c=(%x+q)(%x+c2)=a}a2x2+(<7,c2+a2c})x+c}c2我们将系数按
2、以下方式排列：第一列是a分解出的数a=axa2,第二列是c分解出的数c=,一次项系数是交叉相乘后相加得到的数b=a]c2^a2c]・第一列的数是兀前面的系数，第一行与第二行分别对应一个因式.在十字相乘过程中，先对。与c进行因数分解，然后进行尝试•比如分解因式6x~—7%+2解：因为一次项系数为-7,尝试分解6,2,有6=2X3=1x6,2=(-l)x(-2),再去检验各种排列，最后得到所以6x2-7x+2=(2x-1)(3%一2).分析注意二次齐次式+bxy+cy2的分解与二次三项式一样，且二次三
3、项式中的工也可以是卩，或者可以看成整体的任何式子.以(4)为例，将系数拿出十字相乘第一列是血的系数，故分解为(-8处+1)(q兀+1)・答案(1)(2兀一3)(3兀一2)；(2)(2x—3)(2兀+5)；(3)(x-2y)( x-y)；(4)(Sax+l)(tzx+1)・除了二次三项式之外，高中有时会遇到简单的三次多项式的分解，比如：分解因式6%3—5x~—2x+1分解的思路有很多，比如可以进行各种拆项分组等，但涉及的技巧较多，这里介绍一种以后常用易上手的方式——猜根.对于多项式来说，如果当X=
4、Q时，多项式的值为零(我们称。为多项式的零点或根)，则此多项式有一个因式为兀-。・而对于一个三次多项式来说，一旦-得到一个一次因式，那么剩下的一定是个二次三项式，我们就可以通过十字相乘法尝试分解了.我们以6x3-5x2-2x4-1为例看看猜根法分解因式的过程.解：当x=l时，6戏一5兀2一2兀+1=0,所以此多项式有因式x-1,即6x3-5x2-2兀+1=(兀一l)(6zx2+Ax+c)再去求d,b,c的值.通过右边展开式的系数对比，先考虑疋项知q=6；再考虑常数项知c=-l；求b的值可以考虑X，
5、项系数，b-a=-59从而b=a-5=；也可以考虑x项系数，有c—b=—2,解得b=c+2=.于是有6%3—5%2—2兀+1=(兀一1)(6%2+x—1)=(x—1)(2兀+1)(3兀_1)通过多项式的除法(长除法)可以直接求出因式ax例2・分解因式：兀§+2x~+2x+1；x3—9〒+26兀—24；+bx^c，与数的除法类似，一直考虑最高次项的抵消即可，过程如下：6X2#x-Ix-lj6X24%3—14%2—x+1•分析与解(1)很容易猜出(1)中有根-1,于是(1)中有因式兀+1,从而有%
6、3+2x~+2x+1=(x+1)(疋+x+1)；注意，x2+x+l不可再分解，因为它的判别式为负；对于(2)(3),猜根也有一些方向，如果一个整系数三次多项式ax+bx_+cx+d=(mx+n)(px「+qx+1),则加是Q的因数，〃是〃的因数.所以(2)屮的根不是分数，往±1,±2上猜；⑶中的根应该是分数，试根丄，—….223(2)计算知2是它的一个根，故%3—9x2+26x—24=(x—2)(x2-7x+12)=(x—2)(x—3)(兀—4)；-Sr2-2x^1-x+1-X+1猜根时，常见的零
7、点有1i1,—1,2,—2,—,.22得到零点Q后，多项式有因式X-Q・不要忘记得到这个一次式后，剩下的二次式也要考虑是否可以分解.⑶计算知丄是它的一个根，故24x3一14兀2_兀+1=（2兀一1）（12兀彳-x-1）=（2兀一1）（3兀一l）（4x+1）・最后给出两组练习：练习一分解因式：(1)2兀“4-x—6；(2)4x2+15x+9；(3)8x2+6x—35；(4)18兀$—21兀+5；(5)20-9y-20y2；(6)5兀$—8兀—13；(7)12x2-19xy+7j^2；(8)12x2y
8、~—1lxy—15.答案(l)(x+2)(2兀—3)；(2)(兀+3)(4兀+3)；(3)(2x+5)(4兀—7)；(4)(3x—1)(6%—5)；(5)(4-5歹(5+4尹)；(6)(x+l)(5x—13)；(7)(兀一尹)(12兀一7歹)；(8)(3xy-5)(4xy+3).练习二分解因式：（1）2疋__5x_2；⑵3兀—5兀“—1lx—3・答案(1)(x+1)(%—2)(2%+1)；(2)(x+l)(x—3)(3x+1)・
