关于Perron_Frobenius定理的两个推论

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1、2004年6月湛江师范学院学报Jun1,2004第25卷第3期JOURNALOFZHANJIANGNORMALCOLLEGEVol125No13关于Perron-Frobenius定理的两个推论房喜明,黄荣里(华南师范大学数学系,广东广州510631)摘要:根据Perron-Frobenius定理论证两个推论以及若干结果,反映了不可约非负矩阵模等于谱半径的特征值对应的特征子空间之间的关系,对相关结论略有推广.关键词:不可约非负矩阵;谱半径;特征子空间中图分类号:O24文献标识码:A文章编号:1006-

2、4702(2004)03-0007-03Perron-Frobenius定理是非负矩阵理论的一个非常重要的组成部分,其内容丰富且应用广泛.1概念和记号nTnn

3、x

4、=[

5、x1

6、

7、x2

8、⋯

9、xn

10、],E={x∈R+:∑xi=1},

11、A

12、=õ

13、aij

14、」n×n,σ(A)={λ1λ2⋯λn}i=1表示矩阵A的特征值的集合,ρ表示A的谱半径,Vλ表示A的特征子空间,xm0表示x是正向n量,x>0表示x是非负向量,L(x)表示由向量x生成的R的子空间.设A是n阶不可约非负矩(Ax)i阵,函数rA(x)=min{

15、},x>0且x≠0,称为关于A的Collatz-Wielandt函数,简称为A的x>0xiiC-W函数.[1]2预备结论n-1引理1n阶非负矩阵A为不可约矩阵的充分必要条件是(I+A)m0.引理2设A是n阶不可约非负矩阵,rA(x)是A的C-W函数,我们有(1)rA(x)是零次齐次和有界函数;(2)如果x>0和ρ是满足Ax-ρx≥0的实数,则ρ≤rA(x);n-1(3)如果x>0和y=(I+A)x,则有rA(y)≥rA(x).(0)n引理3设A是n阶不可约非负矩阵,则存在正向量x∈E使得(0)rA(x

16、)=max{rA(x)}.nx∈E定理1(Perron-Frobenius)设A是n阶不可约非负矩阵,则收稿日期:2004-04-09作者简介:房喜明(1973—),男,辽宁锦州人,华南师范大学数学系2002级研究生,从事数值代数研究.8湛江师范学院学报(自然科学)第25卷(1)A的谱半径ρ是A的特征值;(2)A有一个对应于ρ的正特征向量;(3)A关于ρ的代数重数multρ(A)等于1,即ρ是A的特征多项式的单根.定理2(Perron-Frobenius)设A是n阶不可约非负矩阵.如果在σ(A)中恰好

17、有h个模为ρ的θiθiθi特征值λ0=ρe0,λ1=ρe1⋯λh-1=ρeh-1,其中0=θ0<θ1⋯<θh-1,则:(1)λ0,λ1⋯λh-1是hhλ-ρ=0的h个不同的根;(2),(3)略.3两个推论(0)n推论1设A是n阶不可约非负矩阵,则存在唯一的x∈E使得(0)(0)rA(x)=max{rA(x)}=ρ,且xm0.nx∈E(0)证明存在性可由引理3得到,由定理1(1)的证明知x是ρ对应的A的一个特征向量,又由定理1(3),根据矩阵特征值的几何重数不大于代数重数,知A的特征值ρ对应的特征子空间

18、Vρ是n一维的,从而结合E的定义,唯一性易证.n(0)结论1根据C-W函数的性质及推论1易得,Px∈E,若x≠x,则rA(x)<ρ.n2Px∈R+若x

19、Vρ,则rA(x)<ρ.推论2设A是n阶不可约非负矩阵,如果β∈σ(A),且

20、β

21、=ρ,其对应的特征向量是xβ,则有

22、xβ

23、m0,且A

24、xβ

25、=ρ

26、xβ

27、.证明由条件知xβ≠0,则由题意有Axβ=βxβ,所以

28、β

29、

30、xβ

31、=

32、βxβ

33、=

34、Axβ

35、≤A

36、xβ

37、,即A

38、xβ

39、-(0)ρ

40、xβ

41、≥0,显然根据条件知ρ>0.类似定理1(1)的前半部分证明(只需

42、将其中的正向量x换成n-1非负向量

43、xβ

44、),设A

45、xβ

46、-ρ

47、xβ

48、≠0,由引理1得(I+A)(A

49、xβ

50、-ρ

51、xβ

52、)m0,n-1设yβ=(I+A)

53、xβ

54、,则Ayβ-ρyβm0.因此充分小的正数ε都有Ayβ-(ρ+ε)yβm0.由引理2(2),知(ρ+ε)≤rA(yβ),即ρ

55、xβ

56、=ρ

57、xβ

58、.又由定理1(2)、(3),可得

59、xβ

60、m0,命题得证

61、.结论结合定理2(1)及推论2易知对于非负不可约矩阵A,当

62、λi

63、=ρ时,Vλ也是一维空间,并1且存在对角矩阵Di,满足

64、Di

65、=I,使得Vλ=VρDi,i=1,2⋯h-1.特别的,xλ∈Vλ,xρ∈Vρ,并111nn且

66、xλ

67、∈E,

68、xρ

69、∈E,则有xλ=dixρ,i=1,2⋯h-1.此结论反映了模的绝对值为ρ的特征值11对应的A特征子空间之间的关系:其向量只是各分量在其各分量所在的坐标平面上作了旋转,但各分量旋转的角度不尽相同.但对于固定的Vλ,则旋