关于正态总体抽样分布定理的证明和思考

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1、第23卷第1期宁德师专学报(自然科学版)V01．23N0．12011年2月JournalofNingdeTeachersCollege(NaturalScience)Feb．20ll关于正态总体抽样分布定理的证明和思考刘文丽，吕书龙，梁飞豹(福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350108)摘要：用数学归纳法，对正态总体抽样分布中的两个定理给出了一种简单的证明，以期为概率论与数理统计的有效教学提供借鉴．关键词：数学归纳法；正态总体；抽样分布定理中图分类号：0212文献标码：A文章编号：1004-2911(2011)01—0008-021存在的问题在《概率论与数理

2、统计》相关课程中，正态总体的抽样定理和有关结论是数理统计部分教学的重点．特别是对于正态总体X-N，2)及其简单随机样本。，：，⋯，，它的样本均值和样本方差s2的抽样分布是应用极广，其理论也非常完善，但是对于以下的两个重要定理：定理1掣-X(—1)．定理2样本方差与样本均值相互独立．大部分“概率论与数理统计”类的教科书仅仅给出定理的结论，却很少给出证明．在教学中教师也经常忽略其证明，而强调其应用，违背了数学教学中的“以理服人”．因此这也导致学生在理解和接受这两个定理方面总是存在疑惑：一方面，大部分学生采用“背公式”的方式来记忆这两个定理，特别是定理l，经常无法理解为

3、什么卡方分布的自由度是(n一1)，而不是n；另一方面，求知欲较强的学生又非常希望能利用自身掌握的知识和工具来证明这两个定理，做到真正意义上的理解．文献【1，2]基于正交变换法、矩阵推演及多维密度函数的雅各比变换给出了证明，文献【3】从线性代数二次型角度详细阐述了采用正交变换证明的来龙去脉，这对于没有学过多元统计、正交变换等相关概念的学生来说，比较难以接受，特别是其中的矩阵变换．《概率论与数理统计》课程中的数理统计部分讲的是基本概念、基本理论和方法及应用，其中出现的定理、结论等，要想让学生真正理解并接受，那就需要在学生掌握的知识层面对其进行证明．为此本文另辟蹊径，从

4、正态总体及样本的特征和性质角度出发，应用数学归纳法，结合初等的数理统计概念和知识，推导了有关统计量的递推过程，并证明了上述两个定理．2解决思路和证明过程假设。，：，⋯，是来自正态总体X-N，的简单随机样本，为证明方便，将样本容量为n时的样本均值和样本方差S2标记为和，即L=~Zx，E(Xi-X,n)．n证明(1)当样本容量n=2时，有=喜产墨，s：一TX1-X2)2=(量)‘+(学22-N(0,2oa)测有删懒檄锗)收稿日期：20O8—12—20作者简介：刘文丽(1978一)，女，讲师，福建福州人，现从事概率论、统计分析教学及研究．基金项目：福州大学本科第六批高等

5、教育教学改革工程项目；福建省教育厅科研资助项I~10B08026,J808o27)E-mail：freelyfly28@126．corn第1期刘文丽等：关于正态总体抽样分布定理的证明和思考·9·一x2(1)，则定理1成立．另外(X】+2，Xl—2)服从正态分布，且Coy(X+X2，X1-X2)=Coy(Xl，X)-Coy(2，X)=O．对于正态分布而言，不相关就是独立，所以X+：，X-X相互独立，相应地z与5；相互独立，定理2得证．(2)假设当样本容量为n时，定理1和定理2成立，即凡一1)，且和．s2相旦a坐-~．．(1)(3)当样本容量为+l时，有(2)孚=n+

6、l古【=【蝣i=1·)[2叠】=[2+2+]=[一卜+n)2c3，令y。：[窆／=1一：]，y广+一，1)，则由(1)式假设可知y=(凡一1)而Xn+l-~～N(0，仃2)，则V)ni_-(一)～N(0，1)，因此y2：___(一)。-x2(1)．由(1)式可知Y。与独立，X．与独立，所以y与X独立，则Y与Y2独立．利用卡方分布的独立可加性，得Y。+y：～(．另外(-X，X川+nX)服从正态分布，且Cov(X+-X，X+nX)=D(川)一nD(X)=0，则+一X和¨-nX相互独立，由(2)式和(3)式可知和S二+。相互独立．综上所述，定理1和定理2成立．3总结文中

7、采用初等的数学归纳法从统计量自身的特征和性质出发，证明了正态总体抽样分布中的两个定理．从教学角度上讲，本文提供了一种简单的证明思路和方法；该方法对于学生理解并掌握这两个抽样分布定理非常有帮助，对数理统计的教学也有_定的促进作用．参考文献：【1】峁诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程【M]．北京：高等教育出版社，2004：7．[2]粱之舜，邓集贤，杨维权，等．概率论与数理统计【M]．北京：高等教育出版社，1980：7．【3]胡必锦．关于抽样分布定理证明的注【J]．重庆交通学院学报，2005，24(4)：165—166．【4]张荣基，张树美．抽样分布定理的推广[

8、J】．河北