正态总体下的抽样分布.ppt

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1、第二节正态总体下的抽样分布统计量是样本的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量统计量的分布称为抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布.由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用.正态总体样本均值的分布设总体，是的一个样本,则样本均值服从正态分布U—分布概率分布的分位数(分位点)使P{X≥x}=，定义对总体X和给定的(0<<1)，若存在x，则称x为X分布的上侧分位数或上侧临界值.如图.xoyxP{X≥x}=若存在数1

2、、2，使P{X≥1}=P{X≤2}则称1、2为X分布的双侧分位数或双侧临界值.oyx21双侧分位数或双侧临界值的特例当X的分布关于y轴对称时，则称为X分布的双侧分位数或双侧临界值.如图.若存在使yxOU—分布的上侧分位数对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定的，上侧分位数是由：P{U≥u}=即P{U

3、态分布的双侧分位数或双侧临界值.如图.u/2可由P{U≥u/2}=/2对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定的，称满足条件P{

4、U

5、≥u/2}=即(u/2)=1-/2反查标准正态分布表得到，P{U≥1.96}=0.05/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96(x)Ou/2/2-u/2/2x标准正态分布的分位数在实际问题中，常取0.1、0.05、0.01.常用到下面几个临界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.57

6、5数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即2分布t分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切的联系.！在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面章节的基础.——分布定义设总体，是的一个样本,则称统计量服从自由度为n的分布，记作自由度是指独立随机变量的个数，分布的密度函数为01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10f(y)其图形随自由度的不同而有所改变.2分布表(附表5(P175))

7、.分布密度函数的图形满足的数为2分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-5所示.其中f(y)是2-分布的概率密度.f(y)xO图5-5显然，在自由度n取定以后，的值只与有关.例如，当n=21，=0.05时，由附表5(P175)可查得，32.67即2分布的上分位数2分布的双侧分位数把满足的数称为2分布的双侧分位数或双侧临界值.见图.f(x)xO显然，为2分布的上分位数.为2分布的上分位数.如当n=8,=0.05时，2.1817.542分布的数学期望与方差设2～2(n)，则E(

8、2)=n，D(2)=2n.2分布的可加性设且相互独立，则性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则证明由已知，有Xi～N(，2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则且各相互独立，由定义5.3得定理设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)(2)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，是n个正态随机变量的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定

9、时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(2)式的自由度是n-1.定理设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则三、t分布设随机变量X～N(0，1)，Y～2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布(Student)分布，记作t分布的概率密度函数为T～t(n).其图形如图5-4所示(P123)

10、，其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.一般说来，当n>30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P{

11、T

12、≥t0}≥P{

13、X

14、≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更