正态总体统计量的分布定理及习题

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1、§5.5正态总体统计量的分布1.单个正态总体的统计量的分布从总体中抽取容量为的样本，样本均值与样本方差分别是.定理1设总体服从正态分布，则样本均值服从正态分布，即证因为随机变量相互独立，并且与总体服从相同的正态分布，所以由§4.3中的定理知，它们的线性组合服从正态分布。定理2设总体服从正态分布，则统计量服从标准正态分布，即由定理1结论的标准化即得到定理2。定理3设总体服从正态分布，则统计量服从自由度为的分布，即证注意到，则又上述统计量相互独立，并按照分布的定义可得结果。定理4设总体服从正态分布，则（1）样本均值与样本方差相互独立；（2）统计量服从自由度为的分布，即5证明略。

2、定理5设总体服从正态分布，则统计量服从自由度为的分布，即证由定理2知，统计量又由定理4知，统计量因为与相互独立，所以与也相互独立，于是根据分布的定义得结论。1.两个正态总体的统计量的分布从总体中抽取容量为的样本，从总体中抽取容量为的样本。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本与都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作样本方差分别记作定理6设总体服从正态分布，总体服从正态分布，则统计量5服从标准正态分布，即证由于独立的正态统计量的线性组合服从正态分布，所以标准化即得结论。当时，我们有推论设总体服从正态分布，总体服从正态分布，则统计量定理7设总体服从正

3、态分布，总体服从正态分布，则统计量其中证由定理6的推论知，统计量又由定理4知5因为与相互独立，由分布的可加性知因为和相互独立，所以由分布的定义得结论。定理8设总体服从正态分布，总体服从正态分布，则统计量服从自由度为的分布，即证由定理3知因为与相互独立，结合分布的定义得结论。定理9设总体服从正态分布，总体服从正态分布，则统计量服从自由度为的分布，即证由定理4知5因为与相互独立，所以与独立，结合分布的定义得结论。5