二次函数与幂函数知识梳理

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1、二次函数与幂函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。2.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．【知识网络】基本初等函数图象与性质一次函数二次函数幂函数常数函数【考点梳理】考点一、初中学过的函数（一）函数的图象与性质常函数一次函数反比例函数二次函数表达式（）（）（）（）式子中字母的含义及范围限定图象、及其与坐标轴的关系单调性要点诠释：1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，第8页

2、共8页零点式：（），其中是方程的根2.二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2.求二次函数的最值一般要数形结合。考点二、幂的运算(1)，，；(2)，，。考点三、幂函数的图象与性质1.幂函数在第一象限的图象特征第8页共8页2.幂函数性质：（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近

3、线，如要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。【典型例题】类型一：基本函数的解析式例1．已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.【解析】【方法一】设（），则，且对称轴，即，∴，∵，∴∴【方法二】∵，∴二次函数的图象的对称轴为，可设所求函数为（），∵截轴上的弦长为，∴的图像过点和，∴，即（1）又∵的图像过点，∴（2）（1）（2）联立，解得，，∴，即.第8页共8页【方法三】∵的图象对称轴，又,∴与轴的交点为和，故可设（），由可得.∴，即.【总结升华】二次函数的形式有以下三种：（1）一般形式：（），（2）顶点式（或称配方式）（），（3）零

4、点式（或称双根式）（），（前提：有根）对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。举一反三：【变式】已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式【答案】∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，解得，∴，即.类型二：函数的图象和性质例2.下图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则、、、与1的大小关系是（）A.B.C.D.第8页共8页【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）

5、中比较、的大小，从（1）（2）中比较、的大小.【答案】B【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.举一反三：【变式】（1）下图的曲线是对数函数图象，已知的取值为10，2，0.6，0.25，则曲线对应的的值依次为；（2）如图是幂函数在第一象限内的图象，已知取，则曲线对应的的值依次为；【答案】（1）依据对数函数的图象中的特殊点，如图，令，由图知点、、、的左右位置关系，有，∴相对应的曲线的值依次为2、10、0.25、0.6.第8页共8页（2）依据幂函数在第一象限内的图象特征，如图，令，由图知点、、、的上下位置关系，有，∴相对于曲线的依次为、、、.类型三：比较

6、大小例3.比较，，这三个数的大小关系．【解析】比较式子的结构，依据其异同点选用不同的函数，结合函数的单调性或数形结合比较大小。【方法一】考察函数，由于该函数是单调递减函数，故．考察函数，由于该函数在第一象限是单调递增函数，故∴，，这三个数的大小关系是：【方法一】考察函数，由于该函数是单调减函数，故考察函数与函数，根据指数函数图象的分布规律知，在第一象限时的图象位于的图象的上方，从而当自变量都取时，。第8页共8页∴，，这三个数的大小关系是：【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。通常都是构想函数运用函数性质来解决，通常两个同指的幂式比较就构想幂函数，同底的就构想指数函数，若混合比较即插入对数

7、式或底指皆不同的幂式就用搭桥的办法，常用搭桥的思路有选0或选1或根据具体情况构作。举一反三：【变式】（1）设，且（，），则与的大小关系是（）A.B.C.D.(2)若，则，，从小到大依次为；【答案】（1）取，知选。(2)；【方法一】由得，故.【方法二】令，可得，故.类型四：最值问题例4.求函数（)的最值.【解析】令,则,开口向上，对称轴∵,∴,即∵，∴时，；时，；时，；∴时，；时，.【总结升华】第8页共8页1.