一元二次方程综合题(精)

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1、一元二次方程根的判别、根与系数的关系专项训练1.已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根、．（1）当m为何值时，；（2）若，求m的值.2.已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．3．已知抛物线（1）m满足什么条件时，抛物线与x轴有两个的交点；（2）若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，且，求m的值.第6页共6页4．已知抛物线（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．

2、5.已知关于x的方程x2+(2k－1)x+(k－2)(k+1)=0……①和kx2+2(k－2)x+k－3=0……②.⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k的值.6.已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.第6页共6页7

3、.已知一元二次方程的一根为2．（1）求关于的关系式；（2）求证：抛物线与轴有两个交点；（3）设抛物线的顶点为M，且与x轴相交于A（，0）、B（，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．8.已知关于x的方程（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实根；（2）若等腰的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长。第6页共6页答案1.解：（1）△=(m－1)2－4(－2m2＋m)=m2－2m＋1＋8m2－4m=9m2－6m＋1=(3m－1)2……………………………………………3分要使x1≠x2，∴△>0即△=(3m－1)2>0∴m≠…

4、…………………5分另解：由x2＋(m－1)x－2m2＋m=0得x1=m，x2=1－2m要使x1≠x2，即m≠1－2m，∴m≠.（2）∵x1=m，x2=1－2m，x12＋x22=2………………………………………………8分∴m2＋（1－2m）2=2解得.…………………………………………………10分另解：∵x1＋x2=－(m－1),x1·x2=－2m2＋m，x12＋x22=2∴(x1＋x2)2－2x1x2=2[－(m－1)]2－2(－2m2＋m)=25m2－4m－1=0∴m1=,m2=1.2.解：（1）由题意有，2分解得．即实数的取值范围是．4分（2）由得．5分

5、若，即，解得．7分，不合题意，舍去．8分若，即，由（1）知．故当时，．10分4.（1）证明：△=．………………2分∵k>0，∴△=4k2>0．……………………………3分∴此抛物线与x轴总有两个交点．………………4分（2）解：方程的解为．……………6分第6页共6页∵，∴OM>ON．∵k>0，∴M，N∴OM=，ON=．……………………8分∴，解得，k=2．………………………10分6.解：（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15…………………………1分当△＞0时，方程有两个不相等的实

6、数根，即-16m-15＞0∴m＜-此时，y的图象与x轴有两个交点………………………………2分当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0∴m=-此时，y的图象与x轴只有一个交点………………………………3分当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0∴m＞-此时，y的图象与x轴没有交点∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.……………………4分（评分时，考生未作结论不扣分）（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4

7、………………5分+=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7……6分∵+=5，∴2m2-10m-7=5，∴m2-5m-6=0解得：m1=6，m2=-1∵m＜-，∴m=-1∴y=x2+3x+2……………………………………………………………………7分令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）又y=x2+3x+2=（x+）2-，∴顶点M的坐标为（-，-）第6页共6页设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b解得2=bk=-=k+b，b=2∴所求的解析式为y=x

8、+2…………………………………………8分7.（1）解：由题意，得，