一元二次方程综合题例析

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1、一元二次方程综合题例析一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。一、一元二次方程与一次函数综合例1.（2010年绵阳市）．已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值

2、范围，即可求出y的最小值及对应的m值．解：（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0．∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤．（2）∵x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1． 二、一元二次方程与反比例函数综合例2（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．解:设方程的两个根为，，根据题

3、意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目三、一元二次方程与二次函数综合例3（2008年湖北荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．   （1）用m、p分别表示OA、OC的长；   （2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．                  

4、                分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，　　整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，　　∴x1=p，x2=m+2-p，　　∵m+2＞2＞0　　∴m+2-p＞p＞0，　　∴OA=m+2-p，OC=P．　　（2）∵OC=OB，S△AOB=OA?OB，　　∴S△AOB=OA?OB=P?（m+2-p），　　=-P2+（m+2）?P，　　∴当p==（m+2）时，

5、S△AOB最大． 点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．四、一元二次方程与不等式综合例4（2008年湖北荆州市）关于的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是______________________.分析：因为方程有两实根，所以△=[2（k+1）]2-4k2≥0≥0，又因为关于y的不等式组y＞-4y＜m有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．解：∵方程x2+2（k+1）x+k2

6、=0有两实根，　　∴△=[2（k+1）]2-4k2≥0，解得k≥-12；　　∵关于y的不等于组有实数解，∴m＞-4　　又∵m=-2（k+1），　　∴-2（k+1）＞-4，解得k＜1．　　∴k的取值范围是得1＞k≥-12．故填空答案：1＞k≥-12．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．五、一元二次方程与概率综合例5（2010年黄冈市）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.　　（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.分析：（1）方程

7、x2+px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，　　（1）其中使方程有实数解共有19种情况：　　p=6时，q=6、5、4、3、2、1；　　p=5时，q=6、5、4、3、2、1；　　p=4时，q=4、3、2、1；　　p=3时，q=2、1；　　p=2时，q=1；故其概率为．　　（2）使方程有相等实数解共有2种情况：　　p=4，q=4；p=2，q=1；故

8、其概率为．