专题一第四讲导数及其应用

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1、第四讲　导数及其应用要点知识整合(3)复合函数的导数：y′x＝y′u·u′x，如y＝sin2x有y′＝2cos2x.3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．在区间(a，b)内，如果f′(x)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最

2、大的就是最大值，最小的就是最小值)．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．热点突破探究典例精析题型一导数的几何意义例1【答案】(－∞，0)【题后拓展】求曲线切线方程的步骤是：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0时的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．特别地，①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为

3、x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．变式训练(2010年高考课标全国卷)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围【解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．题型二利用导数研究函数的单调性例2【题后拓展】利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(

4、或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上的恒成立问题求解．变式训练2．已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．题型三利用导数研究函数的极值、最值例3则当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－

5、6.(3)假设存在实数b使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．∴x3－4x2－3x－bx＝0，∴x＝0是其中一个根，∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．【题后拓展】利用导数求函数的极值或最值，关键是首先要正确求导，准确记忆常用函数的求导公式及求导法则，其次令导函数等于零，列出升降表，根据升降表确定极值，进而确定最值，注意不能忽视边界．变式训练题型四导数的实际应用例4(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为5000

6、0辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆投入成本增加的比例为x(0

7、＝－1800x2＋1500x＋15000，x∈(0,1).4分【题后拓展】与求最大值有关的应用题，首先要根据题目的含义列出对应的函数关系式．若函数关系式是三次或更高次的函数，一般可以考虑用导数求最值．由于实际问题中的自变量有一定的范围限制，所以根据条件写出定义域也是重要的环节．若求出函数的定义域是一个开区间，通常在开区间中所得的极值点就是所求最值对应的点．实际应用性问题有时需要先建立函数关系式，然后对函数求导，这种解答方法是经常出现的．当然构造函数关系式时，要根据函数的实际情况来确定它的定义域，这点也是最容易出错的．变式训练4．某商品每件成本9元，售价为30元，每

8、星期卖出4