专题一 第5讲 导数及其应用.doc

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1、第5讲　导数及其应用自主学习导引真题感悟1．(2012·辽宁)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为A．(－1,1]　B．(0,1]C．[1，＋∞)　D．(0，＋∞)解析　根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案　B2．(2012·安徽)设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a、b的值．解析　(1

2、)f′(x)＝aex－，当f′(x)＞0，即x＞－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；当f′(x)＜0，即x＜－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．①当0＜a＜1时，－lna＞0，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)，所以a＝，代入原函数可

3、得2＋＋b＝3，即b＝，故a＝，b＝.考题分析在每年的高考命题中都有导数应用的解答题出现，是高考试题的压轴题，难度较大，主要考查函数的单调性、极值、最值及根据单调性、极值、最值等确定参数的值或范围，解题的方法也是灵活多样，但导数的工具性都会有很突出的体现．网络构建高频考点突破考点一：利用导数研究函数的单调性【例1】(2012·临沂模拟)已知函数f(x)＝，其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在原点处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．[审题导引]　(1)直接根据导数的几何意义解决；(2)根据函数的结构特点，函数f

4、(x)的导数应是一个分式，但分式的分母符号确定，其分子是一个多项式，所以讨论函数的单调性等价于讨论这个分子多项式的符号．[规范解答]　(1)当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝－2.由f′(0)＝2，得曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是2x－y＝0.(2)f′(x)＝－2.①当a＝0时，f′(x)＝.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a≠0，f′(x)＝－2a.②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞

5、)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘故f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，；单调增区间是.③当a＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗f(x2)↘f(x1)↗所以f(x)的单调增区间是，(－a，＋∞)；单调减区间是.综上，a＞0时，f(x)在(－∞，－a)，单调递减；在单调递增．a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减；a＜0时，f(x)在，(－a，＋∞)单调递增；在单调递减．【规律总结】函数的导

6、数在其单调性研究的作用(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围

7、内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示]　在利用“若函数f(x)单调递增，则f′(x)≥0”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．【变式训练】1．(2012·临川五月模拟)已知函数f(x)＝＋lnx.(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性．解析　(1)∵f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝(a＞0)．∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，ax－1≥0对x∈[1，＋∞

8、)恒成立，即a≥对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.(2)∵a≠0，f′(x)＝＝，x＞0，当a＜0时，f′(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴f(x)的增区间为(0，＋∞)，当a＞0时，f′(x)＞0⇒x＞，f′(x)＜0⇒x＜，∴f(x)的增区间为，减区间