专题一第五讲导数及其应用

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1、专题一第五讲导数及其应用一、利用导数研究曲线的切线例1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是.解析：由得：即，∴∴，∴切线方程，即.例2.已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程.答案：或注意：“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别二、利用导数研究函数的单调性例3.（2010·山东）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解：（1）当因此，,又所以曲线（2）因为,所以,令13①当时，所以当时，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时，函数单调递增.②当时

2、，由，即，解得.当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;当时，，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减当时，由于,时，,此时,函数单调递减；时，<0,此时,函数单调递增.综上所述当时，在上单调递减;函数在上单调递增当时,在上单调递减当时，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.三、利用导数研究函数的极值与最值例4．函数在处有极值，则点为．13答案：（-4,11）四、利用导数研究函数的图象例5．设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．解

3、：依题意，得在区间[O，2]上恰有两个相异实根．令，则当时，当在上是减函数，在上是增函数．又只要如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，故的取值范围是五、利用导数证明不等式例6．已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为．（1）求直线的方程及的值；（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（3）当时，求证：．解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由得13不合题意，舍去）(2)因为，所以当时当时因此在上单调递增，在上单调递减

4、．因此，当时取得最大值(3)当时.由(2)知：当O时即因此，有.例7．(1)已知，试求函数的最小值；（2）若，求证：.解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，，函数是递减函数；当时，，函数是递增函数；所以当时，函数.（2）由第（1）题得：从而，，，三式相加得：13变题：由（1）知：，从而，，，三式相加，结合得：.联想：在三角函数中，有公式，因此，若，且，则.类比：若，则13专题一第五讲导数及其应用班级_________________姓名____________________一、填空题：1．如图所示，

5、有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以的速度向该容器注水，则水深时水面上升的速度为2．等比数列中，，，函数，则=_________.3．已知函数满足则函数的图象在处的切线方程为．4．已知曲线上的一点则过点P的切线方程为．5．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则______.6．若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，则实数的取值范围为．7．关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是．8．设函数若恒成立，则实数的取值范围是．9．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是

6、．10．已知函数直线若当时，函数的图象在直线的下方，则实数c的取值范围为．11．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则的大小关系为_________.1312．设函数(n为正整数)，则在［0,1］上的最大值为．二、解答题：13．已知函数的导数为实数，（1）若在区间上的最小值、最大值分别为，求的值；（2）在（1）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程．14．已知函数()=ln(1+)-+，(≥0).（1）当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；（2）求()的单调区间.1315．已知

7、．（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明对一切，都有成立．1316．已知，点A(s,f(s)),B(t,f(t))（1）若,求函数的单调递增区间；（2）若函数的导函数满足：当

8、x

9、≤1时，有

10、

11、≤恒成立，求函数的解析表达式；（3）若0

12、值为又，故由题意得，即得故(2)由(1)得点P(2，1)在曲线上，①当切点为P(2，1)时，切线的斜率故的方程为，即⑦当点P不是切点时，设切点为，切线的斜率所以的方程为又点在上，所以所以整理并化简得因为，故所以切线的方程为故所求切线的方程为或13(或者：由(1)知点A(O，1)为极大值点，所以曲线的点A处的切线为y=l，此切线恰好经过点P(2，1)，符合题意．）14.（1）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（2），.当时，.所以，