第五讲 导数及其应用

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1、惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.个性化教学设计教案授课时间：2011年7月24日（8：00---10：15）备课时间：2011年7月20日年级：高二学科：数学课时：3学生姓名：课题名称第五讲导数及其应用授课教师：曾先兵教学目标1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数为导数（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导

2、数。3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。教学过程一、导数的概念及几何意义1．函数在x＝x0处的导数及导函数的概念．2．导数的几何意义：f

3、′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二、导数运算1．求导公式(1)C′＝0(其中C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(lnx)′＝，(logax)′＝logae；(6)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna.2．导数的四则运算法则(1)(u±v)′＝u′±v′；　(2)(uv)′＝u′v＋uv′；(3)′＝(v≠0)；(4)y＝f[φ(x)]的导数y′x＝y′u·u′x(

4、其中u＝φ(x))．三、导数的应用1．利用导数求曲线的切线．2．利用导数判断函数的单调性．(1)导数与单调性的关系：在某个区间内，如果f′(x)>0(f′(x)<0)，那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f′(x)＝0，那么函数在这个区间内是常数函数；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数，则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)．(2)求单调区间的一般步骤：①确定定义域，②求f′(x)，③解不等式f′(x)>0得函数的递增区间；解不等式f′(x)<0得函数的递减区间．第11页共11页惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCentu

5、ryEducationTechnologyLtd.3．利用导数求函数的极值、最值．(1)求极值的一般步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，左正右负极大值，左负右正极小值．(2)连续函数在闭区间[a，b]上必有最大值、最小值，先求出使方程f′(x)＝0的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题．四、定积分1．定积分的几何意义：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且f(x)≥0，那么f(x)dx的

6、几何意义是直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．1：利用导数研究曲线的切线求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）2：利用导数研究导数的单调性利用导数研究

7、函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤第11页共11页惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.0在单调区间上恒成立问题求解。例2：已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调