第四讲导数及其应用

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1、专题一集合.常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用J密主干考点槻理召1・导数的定义.（l）/（jr）在乂=乂。处的导数为:=伫兀）=恤学=lin/5+S_g）（2）/（jt）在定义域内的导数（导函数）=limXf02.导数的几何意义./（$+△%）—/（JT）△jt函数丿=/（兀）在兀u处的导数f（兀0）的几何意义是：曲线丿=/（兀）在点（也，n也））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数灾）对时间t的导数）.基本初等函数的导数1.基本初等函数的导数公式.函数导数①/Q)=C(C为常数)/(jr)=O②/(^)=jrw(n6N*)(jr)=nx~1③fO=sinxf(工)=cosx④/(

2、jt)=cosXf(z)=sinx⑤/(x)=ax(a>0,且aHl)fx)=aIna®/(x)=ex"、)=U⑦/(无)=10&无(0〉()9且qHI)2.Ina⑧/(壬)=lnjc2•导数的四则运算法则.(l)[w(x)±r(x)]'=0(工)士q'(Q；(2)[m(x)q(x)]'=it'(兀)如(兀)+'(兀)；ur(兀)・e(兀)—m(x)(x)g)HO)・3・复合函数求导.复合函数y=f(g(x))^j导数和y=f(u)9u=g(x)的导数之间的关系为X=y/■咗・导数的应用1.函数的单调性与导数的关系.一般地，在某个区间（a,b）内：⑴如果f（兀）＞03函数心）在这个区间内

3、单调递增：（2）如果f（x）＜0^函数沧）在这个区间内单调递减；⑶如果f（兀）=0今函数心）在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系.一般地，对于函数y=f（x）：（1）若在点x=a处有/（a）=0,且在点兀=a附近的左侧『任）＜0,右侧Hx）＞0,则称x=a为血:）的极小值点，血叫函数/（兀）的极小值.（2）若在点x=b处有f（方）=0,且在点x=b附近的左侧『任）＞0,右侧f（QV0,则称兀=方为心）的极大值点，他叫函数/（兀）的极大值.3・求函数丿=/仪）在［a,盯上的最大值与最小值的步骤:⑴求函数y=f（x）在（a,Z0内的极值;⑵将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数

4、值张），血）比较，其1•定积分的概念:fO)dr=lim”f8ib~a1=1/（£）・2•定积分的儿何意义.函数y=/（H）［y（H）>o］在区间匕，刃内的定积分的几何意义是/（&）的图象9/轴2=SH=b所围成的曲边梯形的面积.如图所示，则函数y=f^与y=g（_z）的图象围成的圭寸闭图形的面积％s=［gO）—/（JT）］djr+£,［/（—g(jr)]cLr=

5、/(壬)一g(z)3•定积分的性质.（1）J人/（乂）山=剧』（工）山（怡为常数）;(2)J丄/](jt)+/2(jc)]djc=ja/1(x)dj?+Ja/2(jc)djr;（3）J/（jr）djr=af（工）d文+cf（

6、jr）djr（其中aVcO・（X）⑸函数的极大值不一定比极小值尢（V）（6）对可导函数/（Xbf（Xo）=O是Xq点为极值点的充要条件.（V）考也囱测•

7、”(B)1.J*o(sinjt+gcosjr)djr=:2,则实数a等于A.-1B.1C.a/3-D.—5/3-2.(2015•新课标I卷)设函数/(x)=ex(2x—1)—ax+a,其中a

8、15-天津卷）已知函数兀）=arlnx,为实数，f（兀）为加:）的导函数.若尸（1）=3,xe（o,4-oo）,其中则a的值为3・解析：/(x)=ax+X--=a(l+Inx).由于/(l)=a(l+lnl)=a,又/(l)=3,所以a=3・4.若门並）=2,则恤心―；厂心）_].5.求下列函数的导数：(10=(2/—1)(3兀+1)；(2)j=x2sinx.答案：(1)j^=18x2+4x-3(2)丿'=2兀si