高等代数行列式计算方法

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1、第2章级行列式的计算方法2.1定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义可知，级行列式共有项，每一项的一般形式为若每一项个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。例1计算级行列式2.2利用行列式的性质例2计算级行列式.解当时，；当时，；24当时，把第一行的倍分别加到第行，行列式的值不变，得综上可得2.3三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化

2、为三角形行列式。例4计算级行列式解24这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，列加到第1列上，行列式不变，得例5计算级行列式24解将其他各列全部加到第一列，可得24242.4升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。例6计算级行列式.解利用加边法.24将的第二列乘1，第三列乘2，…，第列乘并都加到第一列，可得=242.5降级法按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。24此方法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，

3、应用行列式的展开定理按此行（列）展开。例7计算级行列式.解观察行列式的每行之和为定值（1+2+…+），因此将各列加到第一列后，则24由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。即第二行减第一行，……第行减第行得2.6归纳法24通过计算一些初始行列式等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。24例8计算级行列式.证明由于所以当时，结论成立。猜想：以下用数学归纳法证明当时已成立。假设时的行列式猜想成立，即24。下证明时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得由归纳假设，所以对一切自然数结论成立。综上所述24

4、2.7递推法利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值。例9计算级行列式24.解由行列式性质，按最后一列展开得2424行列式转置同理有若，解得：若，解得：2.8拆分法把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。例10计算级行列式.解将第一行元素拆为24（1）再将第一列元素拆为24（2）.联立上述（1），（2）两递推公式.当时当时.24第3章几类特殊行列式的计算方法3.1一类常见特殊行列式的值1.奇

5、级数反对称行列式的值为零，即（为奇数）2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即24.244.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即243.2箭形行列式对于形如的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。例11计算级行列式解将第列的（）倍加到第一列得24.243.3二条线型行列式....对于形如.，的所谓二条线型行列式，首先展开降级，再利用三角或次三角行列式计算。例12计算级行列式解将按第一列展开得3.4三对角行列式对于形如的

6、所谓三对角行列式，首先按行或列展开后得递推公式，利用变形递推技巧求解。例13计算级行列式24解将按第一行展开得24变形为24而==1因此243.5范德蒙德（Vandermonde）行列式24行列式称为级的范德蒙德（Vandermonde）行列式，对任意的，级的范德蒙德行列式等于这个数所有可能的差的乘积。即例14计算级行列式.解注意到与范德蒙行列式十分接近，构造级范德蒙行列式24.将按第列展开得=其中的系数为.根据范德蒙德行列式的结果求得的系数为,故有243.6行（列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或行）加到第一列（或行）或

7、第列（或行），然后再化简。例如：上述例1，例4，例7例15计算级行列式解的每行元素之和均为，将各列之和加到第列得243.7相邻行（列）元素差1的行列式计算以数字为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的级行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻两行（列）元素相差倍数的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的倍，或后行（列）减去前行（列）得倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。例16计算元素满足的级行列式

8、。解根据题意写出级行列式这是相邻两行（列）元素差1的行列式，用前一行减去后一行的方法，得24再