《辅助线技巧——截长补短(一)》进阶练习（二）

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1、《辅助线技巧——截长补短(一)》进阶练习一．选择题1．如图：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，则DE+BD等于（　　）A．5cmB．4cmC．6cmD．7cm2．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有（　　）个．（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且

2、AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC．若AE=3，BE=4，则四边形ABCD的面积是（　　）A．24B．12C．9D．6二．填空题4．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中正确的是　　．三．解答题5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．参考答案1．C2．C3．B4．①②④5．证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（S

3、AS），∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC．解析1.【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并求出DE+BD=AC是解题的关键根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后求出DE+BD=AC．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=DE，∴DE+BD=CD+BD=BC，∵AC=BC，∴DE+BD=AC=6cm．故选C．2．【分析】本题考查了平行线的

4、判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF．∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD；[结论（5）]∵E是BC的中点，F是AD的中点，∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，∴DF=E

5、F；∵F是AD的中点，∴DF=AF，∴AF=DF=EF②，由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]由②得∠FAE=∠FEA，由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．正确的结论有4个．故选C．3．【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行线的性质的运用，解答时证明

6、三角形全等是关键．过点E作EF⊥AD于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，延长AE交BC的延长线于点P．就可以得出EF=EG=EH，得出△EDF≌△EHC，就可以得出ED=CE，就可以得出△ADE≌△PCE就可以得出S△ABP=四边形ABCD的面积，就可以求出结论．【解答】解：过点E作EF⊥AD于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，∴∠EFD=∠EHC=90°．∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴EF=EG=EH．∠1=DAB，∠2∠ABC．∵AD∥BC，∴∠FDE=∠C．∠3=∠P，∠ADE=∠PCE．∠DAB+∠ABC=180°．∴∠1+

7、∠2=DAB+∠2∠ABC=（∠DAB+∠ABC）=90°，∴∠AEB=90°．∴S△ABP=AP•BE．在△EDF和△EHC中，，∴△EDF≌△EHC（AAS），∴ED=CE．在△ADE和△PCE中，，∴△ADE≌△PCE（AAS），∴AE=PE，S△ADE=S△PCE．∴S△ABP=S四边形ABCD．AP=3+3=6∵S△ABP=AP•BE．∴S△ABP=AP•BE=6×4=12．故选B．4．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等

8、DE=DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AE＞AD，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE=CF，AE=AF