《辅助线技巧——截长补短(一)》进阶练习（三）

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1、《辅助线技巧——截长补短(一)》进阶练习一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是（　　）A．120°B．150°C．135°D．140°2．如图△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=50°，则∠BFC度数为（　　）A．130°B．115°C．120°D．100°二．填空题3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥AD，若AD=2，CD=3，则对角线BD的长为　　．三．解答题4．

2、如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．参考答案1．A2．B3．44．解：过D作DE⊥AB于E，∵AD=BDDE⊥AB∴AE=AB，∠DEA=90°，∵2AC=AB∴AE=AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD=∠AED，∴∠ACD=90°，∴AC⊥DC．5．证明：如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接D

3、E、CF．又∵∠1=∠2，BD是公共边，BE=BA，∴△ABD≌△EBD∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°∵AB=AC，BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠3==40°，∴∠1=∠2==20°，∠3=40°∵BC=BF，∠2=20°，∴∠F=∠FCB=（180°﹣∠2）=80°则∠F=∠DEC∴∠4=80°﹣∠3=40°，∴∠3=∠4，∠F=∠DEC，又∵DC=DC，∴△DCE≌△DCF（AAS）∴DF=DE=AD∴BC=BF=BD+DF=BD+AD解析1.【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，

4、由等腰三角形的性质即可求出∠EPF的度数．本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识是解题关键．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=30°，∴∠PEF=∠PFE=30°，∴∠EPF=120°．故选A．2．【分析】本题主要考查了角平分线的定义及三角形内角和定理．在△ABC中，根据角平分线的定义及三角形

5、内角和定理，先求得∠ABD+∠ACE的值，从而求得∠CBD+∠ECB的值；然后在△BFC中利用三角形内角和定理求得∠BFC度数．【解答】解：∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠ECB；∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠CBD+2∠ECB=180°；∵∠A=50°，∴∠CBD+∠ECB=65°；在△BFC中，又∵∠BFC+∠CBD+∠ECB=180°，∴∠BFC=115°．故选B．3．【分析】本题主要考查三角形中位线定理，利用条件构造三角形中位线求得CE的长是解题的关键．注

6、意勾股定理的应用．过C作CE⊥BD，分别交BD、AB于点E、F，可知E为BD中点，可求得CF、EF，可求得CE，在Rt△CDE中由勾股定理可求得DE，可求得BD．【解答】解：如图，过C作CE⊥BD，分别交BD、AB于点E，F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴CD=CB，∴E为BD中点，∵AD⊥BD，∴AD∥CF，∴F为AB中点，∴EF为△ABD的AD边上的中位线，∴EF=AD=1，又∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF=AD=2，∴CE=CF﹣EF=2﹣1

7、=1，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE===2，∴BD=4，故答案为：4．4．【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【解答】见答案．5．【分析】这是一道一题多解的证明题，不仅考查了三角形的性质，也考查同学们的动手作图能力，应该掌握．由题作辅助线，由BD平分

8、∠ABC，∠1=∠2进而得△ABD≌△EBD，∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°又∠2=20故∠F=80；因为∠4=∠3=40°，所以△DCE≌△DCF（AAS）所以DF=DE=AD，可得BC=BF=BD+DF=BD+AD．【解答】见答案．