《辅助线技巧——截长补短(二)》进阶练习（三）

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1、《辅助线技巧——截长补短(二)》进阶练习一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是（　　）A．150°B．140°C．130°D．120°二．解答题2．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．3．已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证

2、明．4．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D点，写出AT、CD与BD之间的数量关系并证明．5．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF=BE+FD　；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=A

3、D，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论　是　仍然成立（填“是”或“否”）；结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．能力提高：如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N

4、在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为　　．参考答案1．B2．解：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△CODF≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．3．解：BD=CD．证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，∵△ABC是等腰直

5、角三角形，即AC=BC，∴四边形AEBC是正方形，∵∠DAC=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AC，∴AD=AE，∴△AED是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEB=30°，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BD=CD．4．解：AT=（BD﹣CD），理由如下：在BD上截取BF=CD，连接AF、AD，如图所示：∵CD⊥BD，∴∠CDE=∠BAE=90°，∵∠AEB=∠DEC，∠ABF+∠AEB+∠BAE=180°，∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°，∴∠ABF=∠DCE，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AF

6、=AD，∠BAF=∠DAC，∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠DAC+∠FAE=∠FAD=90°，即△FAD是等腰直角三角形，∵AT⊥DF，∴FT=TD，∴AT=DF=（BD﹣CD）．5．解：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在Rt△ABE和Rt△ADG中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF=GF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+FD；（2）延长CD至H，使DH=BE，连接AH，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=18

7、0°，∴∠B=∠ADH，在△ABE和△ADH中，，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠HAF，在△EAF和△HAF中，，∴△EAF≌△HAF，∴FH=EF，∴EF=BE+DF，故答案为：是；结论应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点M，在四边形AOBM中，∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAM+∠OBM=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+FB成立，则EF=AE+FB=1.5×（60+80）=21