《辅助线技巧——截长补短(二)》进阶练习（二）

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1、《辅助线技巧——截长补短(二)》进阶练习一．选择题．如图，在△中，∠°，平分∠，，，则点到的距离为（　　）．．．．．在△中，∠°，为中点，平分∠交于，交于，⊥于．有以下判断：①；②∠∠；③；④；⑤；⑥．其中正确的判断个数是（　　）．个．个．个．个．如图，在四边形中，∠∠°，点、分别是对角线、的中点，则（　　）．⊥．∠∠．（）．（﹣）二．填空题．如图△中，∠°，∠∠，在上，平分∠，若，则的长为　　．三．解答题．如图，在四边形中，，，，，∠°，求∠的度数．参考答案．．．．﹣．解：连接．∵，，∠°，∴由勾股定理，得．又，，∴十

2、，∴，∴∠°．解析.【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．过点作⊥于，先求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得．【解答】解：如图，过点作⊥于，∵，，∴﹣﹣，∵∠°，平分∠，∴，即点到的距离为．故选．．【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等知识；本题综合性强，难度较大，熟记等腰三角形的性质和证明三角形相似是解决问题的关键．由中点的定义得出①正确；由直角三角形的性质和对顶角相等得出

3、②正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理得出∠∠，证出，③正确；连接，证明点、、、四点共圆，由圆周角定理得出∠∠，∠∠，证出∠∠，得出，取的中点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得出，得出∠∠，证出∠∠，得出，证出④正确；证明△∽△，得出，再证明△∽△，得出，即可得出，⑤正确；证明△∽△，得出，由＞，得出＞，⑥不正确；即可得出结论．【解答】解：∵为中点，∴，故①正确；∵∠°，⊥，∴∠∠°，∵∠∠，∴∠∠，故②正确；∵∠°，平分∠，∴∠°，∴∠°﹣°°，∵△中，∠°，∴，∵为中点，∴∠∠∠×°°，∴∠°﹣∠﹣∠°﹣°﹣

4、°°，∴∠∠，∴，故③正确；连接，如图所示：∵∠∠°，∴点、、、四点共圆，∴∠∠，∠∠，∵∠∠，∴∠∠，∴，取的中点，连接，∴，∴∠∠，∴∠∠∠∠°，∵∠∠°，∴∠∠，∴，∴，故④正确；∵∠∠°，∠∠，∴△∽△，∴，∵，，∴，∵∠∠°，∠∠，∴△∽△，∴，∴，∴，故⑤正确；∵在△中，∠°，∴△是等腰直角三角形，∵是的中点，∴⊥，∴∠°∠，∵∠∠，∠∠，∴∠，∴△∽△，∴，∵＞，∴＞，∴⑥不正确；正确的个数有个，故选：．．【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是连

5、接，，根据∠∠°且为中点，求证出△是等腰三角形．连接，，根据∠∠°且为中点，求证△是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质即可得出结论．【解答】解：连接，，∵∠∠°且为中点，∴，，∴，∵为中点，∴⊥．故选．．【分析】此题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．首先过点作⊥于，由平分∠，∠°，根据角平分线的性质，即可得，继而求得，又由△中，∠°，∠∠，求得∠与∠的度数，然后根据直角三角形的性质，求得与的长，设

6、，求得与的长，由勾股定理即可求得等方程（﹣）（﹣），解此方程即可求得答案．【解答】解：过点作⊥于，又∵∠°，平分∠，∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵∠°，∴∠∠°，∵∠∠，∴∠°，∠°，∵，∴，，∴∠∠，∴，设，则﹣﹣，﹣﹣，在△中，，即（﹣）（﹣），解得：﹣，∴﹣．故答案为：﹣．．【分析】综合运用勾股定理及其逆定理．连接．首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠°即可．【解答】见答案．