《向量夹角》进阶练习（一）-1

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1、《向量夹角》进阶练习一、选择题1.若向量，满足

2、

3、=

4、

5、=2，且•+•=6，则向量，的夹角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°2.向量=（1，-2），=（2，1），则（　　）A.∥B.⊥C.与的夹角为60°D.与的夹角为30°3.已知非零向量，满足

6、

7、=3

8、

9、，且关于x的函数f（x）=x3+

10、

11、x2+•x为R上增函数，则，夹角的取值范围是（　　）A.[0，]B.[0，]C.（，]D.（，]二、填空题4.若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是______．三、解答题5.已知（1）求与的夹角θ；（2）求．参考答案1.  C       2.  B       3

12、.  B       4.  [，]       5.  解　（1）∵=61，∴-3=61．又=4，

13、

14、=3，∴64-4-27=61，∴=-6．∴cosθ===-．又0≤θ≤π，∴θ=．（2）∵==42+32+2×（-6）=13，∴=．       1.  解：由题意得，，即，∴4，解得，则向量的夹角是60°．故选C．2.  解：∵向量=（1，-2），=（2，1），∴=1×2+（-2）×1=0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选B．运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线

15、与垂直的坐标表示．3.  解：因为于x的函数f（x）=x3+

16、

17、x2+•x为R上增函数，所以导数f′（x）=x2+

18、

19、x+•≥0在R上恒成立，∴△=在R上恒成立，设，夹角为θ，∵

20、

21、=3

22、

23、≠0，∴9-18cosθ≤0∴cosθ≥，∵θ∈[0，π]∴θ∈[0，]故选B．求导数，利用函数f（x）=x3+

24、

25、x2+•x为R上增函数，可得导数大于或者等于0恒成立，利用判别式小于等于0在R上恒成立，再利用向量的数量积，即可得到结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立．4.  解：∵，不妨设

26、

27、=1，则

28、

29、=

30、

31、=λ．

32、令=，=，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，且0＜θ＜．而由题意可得，与的夹角，即与 的夹角，等于π-θ．△OAC中，由余弦定理可得OC2=1=OA2+AC2-2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2-2•λ•λcos2θ，解得cos2θ=1-．再由≤λ≤1，可得≤≤，∴-≤cos2θ≤，∴≤2θ≤，∴≤θ≤，故≤π-θ≤，即与的夹角π-θ的取值范围是[，]，故答案为：[，]．不妨设

33、

34、=1，则

35、

36、=

37、

38、=λ．令=，=，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有∠O

39、AB=∠OBA=θ，与的夹角等于π-θ，且0＜θ＜．△OAC中，由余弦定理求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到与的夹角的取值范围．本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，余弦定理以及不等式的性质的应用，属于中档题．5.  （1）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；（2）利用数量积运算性质即可得出．本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题．