§41 式的理论概述

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1、西藏大学理学院数学系严俊举第四讲式的理论概述教学目的:理解并熟练掌握式的有关理论,能灵活地运用有关性质解题,熟练掌握各类解析式的恒等变形的技巧和方法.教学重点:式的恒等变形特点、技巧、方法.课时安排:8课时.§4.1式的理论概述一、式的定义及分类1、式的定义：从广义角度来看，式是具有数学意义的有限符号序列。2、初等数学中，数学符号大致分为五类：（1）数（0、1/2、¾、、┄）（2）字母（a、b、x、y、A、┄）（3）运算符号（+、—、×、÷、√、┄）（4）关系符号（、=、∈、≠、≡、┄）（5）结合符号（()、[]，┄

2、）数学符号的运用，使复杂的数学推理成为可能。理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。数学语言中的符号不仅仅是简单的符号约定，合理的符号体系是演绎的有力工具，在数学中，符号具有逻辑的功能，是可以运算求解的对象。3、分类：根据式中是否含有关系符号，式可以分为如下两类：（1）含有关系符号的式子(等式或不等式)。如2+3=5，2x=x+5,sin(x+1)>1,a²+1<0,。6西藏大学理学院数学系严俊举（2）不含关系符号的式子（解析式）。如2x,x+y,sinx,等。本章我们重点研究解析式。4、运算的分类5、根据字母运算

3、方式，式又可分为代数式和初等超越式。关于这种分类的说明：（1）解析式的分类是就它们的形式来说的，如虽然等于1，但是仍把它看作三角式或初等超越式；恒等于，但是仍把它看作分式。（2）解析式的分类针对所考察的字母涉及的运算而言。如对x、y而言为整式，对z而言是分式。二、式的定义域及式的值1、式的值的定义：设是含有字母6西藏大学理学院数学系严俊举的一个解析式，用具体的数依次代替，然后按照式中指定的顺序进行运算，算得结果b，则b叫做式对应于有序数组（）的值。2、式的定义域：使得式有确定值得所有有序数组的集合称为式的定义域。如式

4、的定义域为。注：有时为了某种需要，也可人为地限定它的子集为其定义域。三、关于式的恒等变形1、恒等的定义：如果两个解析式对于它们公共定义域中任意一有序数组都有相同的值，则称这两个解析式恒等。记为。在不产生混淆的情况下，也记为。注：（1）在叙述两个式恒等时，常省略字母的取值范围；（2）两个解析式是否相等，不仅看解析式的形式，还要看其定义域。如等。2、恒等变形的定义及形式（1）定义：一个解析式转化为另一个与它恒等的解析式，这种转换叫做解析式的恒等变形。（2）恒等变形通常有三种形式其一，组合变形。即根据问题的需要,把几个式子

5、变形为一个式子。如，分式的加法、乘法运算；对数的加法，指数式的乘法运算等。6西藏大学理学院数学系严俊举其二，分解变形。即把一个式子分解为若干个和或积的形式。如多项式的因式分解，分式的部分分式等。其三，形式转换。即根据问题的需要，把一个式子的形式进行变形。如①变形为②若有二根，则它可以分解为的形式。再如，分式的通分、约分，根式的有理化，指数式（对数式）的乘法（加法）。四、式的变形特点从教学活动的角度，式的变形可以看作是根据一定的法则，进行一系列操作以获得确切结论的运算过程，具体说来有以下特点：1、变形有目标与方向。如多

6、项式相乘——结果应是具有最简形式的多项式；多项式的因式分解——变形为积的形式；根据需要。2、变形有根据。（1）依据：运算律、运算性质（法则）等，具体如：交换律、结合律、乘法对加法的分配律；分式的基本性质，幂的运算法则，根式的运算性质等。（2）变形依据①通过观察大量的特例归纳、类比、概括得出的运算律或性质；6西藏大学理学院数学系严俊举②通过严格证明得到的公式。例1证明证明：设则（对数的定义）于是（幂的运算法则）=（对数的性质）=（3）变形有算法。所谓算法，就是精确定义的一组规则，它明确怎样从给定的输入信息，经过有限的步

7、骤，产生所要输出的信息。也就是说，只要知道了某一问题的类别以及解决这类问题的算法，并能正确地按照规则操作，就一定能求得问题的解答。中学数学中各类运算步骤和方法（如解一元二次方程的步骤、三角式的化简等）；某些数学公式（如乘法公式、三角诱导公式）都具有算法的性质。①变形有算法，说明变形的程序性。随着运算技能的熟练掌握，程序性会逐渐消退。②变形过程会出现“简缩”“越级”现象，最后进入“自动化反应”阶段。例2计算：解：6西藏大学理学院数学系严俊举=（化为分式形式）=（分母有理化）=（二次根式相乘）=（化为最简二次根式）=（化

8、简）括号内的内容正是进行二次根式除法运算的运算法则，熟练后某些步骤会省略或简缩。小结：解析式的分类时就他们的形式来说的，同时，解析式的分类还是针对所考察的字母涉及的运算而言的。从数学活动的角度来看，式的变形可以看作是根据一定的法则，进行分类操作以获得确切结论的运演过程。式的变形要有目标和方向，要有依据，要有算法。作业：1、试证对数恒等式：。2、