[理学]特征值问题

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1、第5章矩阵特征值问题计算物理、力学和工程技术的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题.例如，振动问题（大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁振荡等），物理学中某些临界值的确定，这些问题都归结为下述数学问题定义1.（1）已知，则称为的特征多项式.1解矩阵的特征方程为求得特征值为：对应于各特征值的特征向量分别为：例1求的特征值及特征向量，其中2通过求特征多项式的根的缺点多项式系数的很小改变可以任意大的改多项式的根。如通过计算机计算在录入系数时有舍入误差的出现，这就改变了系数的值，必然导致根的偏差。3幂迭代在讨论幂迭代之前先举一个例子来简

2、单说明一下例矩阵该矩阵A的特征值为4和1，它们对应的特征向量分别为和4现将矩阵A乘以任意的一个向量。以为例5观察发现以上的初始向量随着迭代次数的增加而接近于向量这个是否是个巧合呢？下面通过把表示为特征向量的线性组合来说明：6则计算过程如下：7该方法的优点与缺点优点：与在绝对值上最大的特征值对应的特征向量在若干步之后将主导这个计算。本例中，特征值4最大，所以计算朝着方向为的特征向量移动。缺点：若迭代次数无限大，则得到的向量的分量将趋紧于无穷。那么怎么克服这个缺点呢？8采用“归一化”的方式进行处理所谓“归一化”就是将例子中的向量除以其长度无穷

3、范数，得到新的向量，从而使得。按照这种方式对上例重新进行计算得到：910通过excle实验不难发现那么这个事实是否是个巧合呢?基于此点和迭代向量朝主特征值方向运动这个两个特点，我们就一般的n阶矩阵来按照这个方法来进行讨论11幂法设实矩阵有一个完全的特征向量组，其特征值为，相应的特征向量为.已知的主特征值是实根，且满足条件现讨论求及的方法.显然，任何非零向量都可以由的线性组合表示12根据前例中的方法知，先给定一个随机的非零向量下面采用幂迭代得到由此得到13根据例子可知当时；计算得到的向量的值容易溢出；同时当时；计算得到的向量将趋向于零向量。

4、从而得不到主特征向量。14针对这个问题按照例子的思路需要对其采用“归一化”处理通常取初始向量这样做的目的在于使得求的值可以不“归一化”那么具体的步骤如下：15那么据此可以求出主特征值的近似值，那么主特征向量的近似值怎么得来呢？下面令对上式取极限得到16例子：用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的主特征向量要求特征值具有4为有效数值时迭代终止17原点平移通过幂法计算可以知道计算矩阵的最大特征值时，收敛速度取决于。所谓原点平移就是将矩阵的特征值都加一个数或者是减去一个数；使得收敛的速度加快。18选择有利的值，虽然能够使幂法得到加速，但问题在于如

5、何选择适当的参数.设的特征值满足则不管如何，的主特征值为或.当希望计算及时，首先应选择使19例子计算矩阵的主特征值.作变换取，则20对应用幂法，计算结果如表8-2.由此得的主特征值为的主特征值为21与例3结果比较，上述结果比例3迭代15次还好.若迭代15次，（相应的).原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法.这种变换容易计算，又不破坏矩阵的稀疏性，但的选择依赖于对的特征值分布的大致了解.22逆幂法由可以得到，从而有A的逆矩阵的特征值为，于是得到那么A的逆矩阵按模最大特征值及相应的特征向量分别为23于是按照幂法的计算公式得到但是计算难免有误

6、差，而且计算量大。于是采用以下的方法进行改进对矩阵A进行LU分解得到24下面举例说明逆幂法25实对称矩阵特征值数值算法—对分法由于对分法只能计算实三对角对称矩阵的各个特征值。因此有必要介绍一个方法使得实对称矩阵转化为实三对角对称矩阵。下面介绍镜面反射矩阵（初等反射阵）及其性质26镜面反射矩阵的定义设向量且，称为镜面反射矩阵（初等反射矩阵）。显然也为镜面反射矩阵27镜面反射矩阵的基本性质（1）对称性：（2）正交性：（3）对合性：（4）设A为对称矩阵，那么也是对称矩阵28定理1对于任意，有29定理2设，则存在H，使得30定理3设为n-r阶镜面

7、反射矩阵，则也是镜面反射矩阵31定理4（约化定理）设，则存在镜面反射矩阵H使得，其中32例1、利用householder变换使得向量与向量共线33例2利用镜面反射矩阵使如下的对称矩阵约化为三对角对称矩阵34求实对称矩阵特征值的对分法1、实对称三对角矩阵的Sturm序列35其中，用表示的i阶主子行列式，并规定，则的特征多项式可由下式算出：362、Sturm序列的性质性质1、仅有实根性质2、相邻的两个多项式和无公共零点性质3、设，则性质4、37