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1、代数特征值问题武汉大学数学与统计学院向华G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”搜索引擎London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequen
2、ciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)主成分分析(PCA)PCA的目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间.PCA的求解：对样本的散布矩阵进行特征值分解,所求子空间为过样本均值
3、,以最大特征值所对应的特征向量为方向的子空间.Principalcomponent定义:设A是n阶矩阵,如果数和n维列向量,使得则称是A的特征值,非零向量x称为其对应的特征向量.比如:投影矩阵设为方阵A的一个特征值,则由方程求出非零解,就是对应于的特征向量.求解特征方程如何求解?即例:给定,求其特征值和特征向量.特征值特征向量乘幂法的基本思想对应的特征向量求按模最大的特征值和对应的特征向量．思考：如果恰好在x1分量上a1=0？假设当｜λ1＜１或｜λ1｜＞１，产生下溢或上溢.作规格化：迭代格式可视为关于特征
4、值 的近似特征向量当阶数很高，无法使用其他方法时，乘幂法几乎是唯一的选择．基本思想可以导出一些更有效的算法（如反幂法，子空间迭代法），是其他方法的基础．收敛速度取决于
5、λ２/λ１
6、的大小定理:设对称阵,,X＝［x1,…,xn]是正交阵且.向量qk由幂法产生且定义,则例１．(1)比较α=30和α=-30时的迭代次数，注意两种情景下
7、λ2/λ1
8、的大小．Hint:Note:(2)取α=16,此时研究初始向量为q0=(2,-2,3,-3)T时的收敛行为.结论：不用担心初始向量q0在x1方向上分量为０．因为迭代过
9、程舍入误差通常能保证迭代序列在此方向上有分量．例２．Demography(Lotka,1920;Leslie,1940s)在时刻t处于年龄段i的个体数第i年龄段的存活率第i年龄段的出生率Ageinterval(months)x(0)misi0-3600.23-6120.50.46-980.80.89-1240.3-对某一网页:所有指向P的网页Q指向外的链接数对n个页面若链接到其他PageRank向量修正Google矩阵推广一（inversepowermethod)：求模最小的特征值推广二（powermet
10、hodwithshift)：下一个迭代向量在相应的特征方向上的成分就非常多．H.Wielandt,1944;J.Wilkinson,1957.坏条件的线性方程组不精确反迭代如何估计位移(Gershgorincircles)：例如,A=[30,1,2,3;4,15,-4,-2;-1,0,3,5;-3,5,0,-1];推广三（RayleighQuotientIteration)：每次求解不同的方程组．近似μk近似qk一步反迭代Rayleigh商推广四（Subspaceiteration,Orthogonali
11、teration,Simultaneousiteration)：(4)据,知收缩技巧(deflation):已知λ1和x1:Ax1=λ1x1,记A1=A1.Hotelling(1933):2.用相似变换:(2)求B2对应的λ2和y2(3)求A2对应的特征向量z2≡(α,y2T)T(1)求H1,s.t.H1x1=te1eigshttp://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/eighttp://www.netlib.org/lapack/QR算法的C程序(见附件)参考Nume
12、ricalRecipes或C++数值算法,（美）普雷斯等著，胡健伟等译,电子工业出版社进一步的内容:1.QR算法2.分而治之(divide-and-conquer)3.TheLanczosMethod4.Arnoldi’sMethod5.Jacobi-DavidsonMethods6.LOBPCG(LocallyOptimalBlockPreconditionedConjugateGradient)
