线性代数特征值

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1、一典型题解析题型1确定矩阵的特征值和特征向量例5-1(1999(1))设〃阶矩阵A的元素全为1,则A的〃个特征值是答：应填仏0,…,0(〃一1个0).解析：A的特征多项式为=仇_咒)1-1=(A—n)Af,2-1•-1A-nA—n…A—A?-1••A—1…••-1•■=-1••2—1…■•-1•■•-1••■2—1•-1•■]••••A-lAE-A可知，A的几个特征值为仏(),•・・，0(比一1个0).例5-2(1987(4))求距阵A‘-30<-1-1-102、41丿的实特征值及对应的特征向量。解析:

2、A的特征多项式为AE-A=01=(2-1)(/+42+5).由于/+42+5=0无实根，故A只有一个实特征值2=1.对于特征值2=1.解齐次线性方程组(E-A)x=0.由<41-2、<100、E-A=02-4T01-2,<100丿<0o丿知方程组的基础解系为(0,2,1)因此,2=1的全部特征向量为Zr(0,2,l)7；其中R为非零的任意实数.‘-122、例5・3(1989(4))设A=2-1-2、2-2-1/(1)试求矩阵A的特征值；(2)利用(1)的结果，求E+AT的特征值，其中E是三阶单位

3、矩阵。2十1解析：(1)A的特征多项式为AE-A=-2-2-2兄+12-222+1=(2-1)2(2+5).知A的特征值4=入=1,入=一5.(2)由于A的特征值&=入=1,厶=一5.]14故A—】的特征值为1,1,—,,因此E+A'1的特征值为1+1二2,1+1二2,1+(-一)=—.(2的逆矩阵的特征向例5・4(1991(3))已知向量0=(1北,1)丁是矩阵A=11量，是求常数£的值。解析:由题设，有A'la=Aa.于是a=AAa，即<211、Tk=A121k丄,112丿丄兄伙+3)=1,2(2£

4、+2)=化解之得例5-5(2003(4))设矩阵A=<2111>1a)可逆，向ka=b是矩阵A*的一个特征向量，2是Q对应的特征值，其屮A*是矩阵A的伴随矩阵，是求a,b和2的值。解析：由于矩阵A可逆，故AHO,M可逆，且"的特征值2工0.由题设，有A"a=Aa•两边同时左乘矩阵A,得AA'a=AAa.Aa=^-a,即2⑴：2)⑶3+/?=——，由此得方程《2+2b=—b,

5、A

6、Q+b+1=—•2由⑴,(3)解得，67=2.由⑴,(2)解得b=l或b=-2.211由于国=121=3d—2=4,E为3阶单11

7、ci根据(1)式知，特征向航所对应的特征值宀齐^=帀于是，当〃=1时，2=1;当b=—2时，A=4.例5-6(2003(1))设矩阵"322、‘010、A=232,P=101,<223)<001,B=PFP,求B+2E的特征值与特征向量，其屮A是矩阵A的伴随矩阵,位矩阵。解法1：经计算可得<5-2-2、(01一1)"700、斗=-25-2尸=100,b=p~'a*p=-25-4<-2-25丿<0［丿<-2-23丿‘900、于是B+2E=-27-4,k-2-25>AE—(3+2E=(A-9)2(2-3

8、),故B+2E的特征值为入=入=9,/=3.厂-2）当^=A2=9时，对应的线性无关的特征向量可取为$二16=0,「丿所以对应于特征值9的全部特征向量为k占+k詁2,其屮何，忍是不全为零的任意常数.当入二3吋，对应的特征向量可取为：=1，丄所以对应特征值3的全部特征向量为忍負，其小心是不为零的任意常数.解法2：设A的特征值为入对应的向量为即Ag=犹.由于

9、A

10、=7H0,所以2工0.又因A*A=

11、A

12、£,故有=甲$于是B（P'1自二h"P（P苛）二凶（严日（B+2E）p—*=14+2戸弋.W）因此，号1+2为

13、B+2E的特征值，对应的特征向量为P弋.由于

14、2E-A

15、=（2-l）2（2-7）,故A的特征人=人=1，入=7・当人二人=1吋，对应的线性无关特征向量可取为当入=7时,对应的特征向量可収为=1p1-1、p-1=100,001丿ri><-1>9-1，P弋2=-11〔0丿/IX/因此B+2E的三个特征值分别为9,9,3.对应于特征值9的全部特征向量为r-i>纣苛+刖苛2#1+k-,-ii/厶,心是不全为零的任意常数・对应于特征值3的全部特征向量为k3P~l^=k31,k3其中是不全为零的任意常数.例5・7(1

16、997(3))设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是0=(—1,—1,1)=(1,—2,—1)。(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A。解析：(1)由于4是实对称矩阵，所以它的不同特征值对应的特征向量正交.设A的属于特征值3的特征向量为0=3,兀2，"卩，则=0厨0=0,即f-x,一兀2+兀3=0.[x{-2x2一禺=0.解之，得基础解系为(1,0,1)7.故