线性代数特征值一

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1、内容简介矩阵的特征值问题是线性代数理论中的最重要的问题之一.在工程技术领域,有许多问题,诸如振动问题、稳定性问题、弹性力学问题等常常归结为求矩阵的特征值和特征向量.本章将先介绍一般方阵特征值最基本的概念与相似对角化理论,然后再介绍实对称矩阵的特征值与对角化理论.第五章　矩阵的特征值与对角化1.特征值与特征向量的概念与计算2.特征值与特征向量的性质§5.1矩阵的特征值与特征向量定义5.1.1设A是n阶复(实)矩阵,若为复(实)数,0是一复(实)n维向量,使得A(0)，则称为A的特征值,为A的属于

2、的特征向量.1只有方阵才有特征值和特征向量;2特征向量是非零向量.说明：1.特征值与特征向量的概念与计算定义5.1.2设A是n阶矩阵,的多项式IA称为A的特征多项式,并记为fAIA.fAIA=0称为A的特征方程,特征方程的根即为A的特征值.IA称为A的特征矩阵。求矩阵特征值与特征向量的步骤：定义对方程fx0,若有x*使得fx*0,则称x*为方程fx0的根或函数fx的零点.特别是,如果函数fx能写成fxxx*mgx且gx*

3、0,m1,则称x*为fx0的m重根,或为fx0的m重零点.一重根m1通常称为单根.例1设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：例2解例3证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则m必为Am的特征值，这里m为正整数.证明比例3更一般的结论：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，gx=asxs+as1xs1+…+a1x+a0为任一多项式，试用特征值定义证明：g是矩阵多项式gA=asAs+as1As1+…+a1A+a0I的特征值，仍是gA的属于g

4、的特征向量。例4设A是n阶方阵，其特征多项式为解说明:但特征向量不一定相同。特别地:对角矩阵它们的特征值均为主对角元a11,a22,,ann.三角形矩阵2.特征值与特征向量的性质性质1设Aaij是n阶矩阵，则性质2n阶矩阵设A有且仅有n个特征值,其中m重特征值以m个计.性质3设1,2,,n为A的n个特征值(i未必互异),则3A不可逆A0A有零特征值.2A可逆A0A的特征值均非零;且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.且AX0的基础解系即为属于零特征值的

5、线性无关的特征向量.注:1可用此性质验证所求的特征值是否正确;定义称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.性质5设0为A的m重特征值,则dimV0m.即特征值的几何重数不超过其代数重数.特别地:m1时,dimV01.dimV0nr0IA0对应的线性无关的特征向量的个数注意特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；但一个特征向量不能属于不同的特征值．1.矩阵的对角化§5.2矩阵的对角化定义5.2.1设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵P,使得P

6、1APB.则称A与B相似，记作A～B.注：矩阵相似关系满足:(1)反身性:A～A;(2)对称性:若A～B则B～A;(3)传递性:若A～B,B～C,则A～C.相似变换矩阵。1.矩阵的对角化2A～BA与B均为n阶方阵性质5.2.1证明定义：如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.P1APdiag1,2,,n.矩阵P称为将A对角化的变换矩阵,P的每一列是A的特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.A的n个线性无关的特征向量1,2,,n所组成的矩阵就是变换矩阵P,但要注意1,2,,

7、n的排列顺序必须与1,2,,n的排列顺序相对应.推论5.2.1如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A必可对角化，反之不一定成立。，A能否对角化？例5解若能对角化，得基础解系即线性无关的特征向量为所以可对角化。注意即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．矩阵可对角化的应用k个见P82例5.2.3思考题思考题答案：6或