全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系

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1、全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系朱丽娜郑州工业安全职业学院451192摘要本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。关键词全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述

2、，以做到加强理解和灵活掌握的目的．一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系定理１：（必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点连续且一阶偏导数存在．定理２：（充分条件）函数在点处对的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分．读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微．偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续．二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系定理3：函数在点处可微分，则在该点处任意方向上的

3、方向导数存在，反之不成立．例1：函数在点处对的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．证明：　　　　故在点处对的偏导数不存在，同理在点处对的偏导数不存在，由定理1　在点处对的全微分不存在．但在点处沿任意方向的方向导数为即任意方向上的方向导数存在．三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：　例2：它在任意方向上的方向导数为：这一结果表明在点处沿任意方向的方向导数都存在．但是，

4、即函数在该点不连续．定理4：函数在点沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在．证明：函数在点的任意方向的方向导数为：当时，该方向导数即为函数在点的偏导数，即偏导数存在且为：同理存在．该定理还有两个结论：结论１：函数函数在点处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．例3：函数在点处对的偏导数存在，但在该点处沿任意方向的方向导数不存在．证明：同理，存在但该函数沿任意方向上的方向导数：不存在．结论２：函数函数在点处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在．例4：函数在点处对的偏导数不存在，

5、但在该点处沿任意方向的方向导数存在．证明：函数在点处对的偏导数为：　　　　故函数在点处对的偏导数不存在，同理函数在点处对的偏导数不存在，由上面的例2知道函数在点处沿任意方向的方向导数存在．定理5：函数在点处对的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在．证明：由定理知函数在点处可微分．又由定理知函数在点处沿任意方向的方向导数必存在．综合以上分析知，上述研究问题的手段即是我们今后教学中研究多元函数性质值得借鉴的基本方法，更为广大同学的学习提供了一种讨论类似数学问题的基本思路．参考文献：１．同济大学数学系．高等

6、数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．２．华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．３．常庚哲，史济怀．数学分析教程［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，１９９８．