二元函数连续_偏导数_可微分与方向导数之间的关系及举例_王霞

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1、第9卷第4期贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)Vol．9No．4JOUＲNALOFGUIYANGCOLLEGE2014年12月NaturalSciences(Quarterly)Dec．2014二元函数连续、偏导数、可微分与方向导数之间的关系及举例＊王霞，谢孔锋(防化学院基础部数学教研室，北京102205)摘要:二元函数的极限存在、连续性、偏导数、可微分、方向导数之间的关系复杂。函数可微的必要条件和充分条件给定了上述几者之间的相关联系。对于推导不成立的方面，我们将给出举例证明。关键词:可微;连续;偏导数;

2、方向导数中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1673－6125(2014)04－0001－02TheＲelationshipandExamplesbetweentheContinuity，thePartialDerivatives，theDifferentiabilityandtheDirectionalDerivativesofaBinaryFunctionWANGXia，XIEKong-feng(TeachingandＲesearchingSectionofMathematics，Institu

3、teofChemicalDefense，Beijing102205，China)Abstract:TherelationshipbetweentheLimitationexistence，thecontinuity，thepartialderivatives，thedifferentiabilityandthedirectionalderivativesofaBinaryFunctioniscomplex．Necessaryconditionsandsufficientconditionsofdiffer

4、-entiablefunctionhavegiventherelevantrelationshipbetweenabove．Forisnotsetup，wewillgiveexamplestoprove．Keywords:differentiability;continuity;partialderivatives;directionalderivatives我们知道，对于一元函数来说，xy22x+y≠022关系比={槡x+y．22较简单，不成立的一面举例也很容易。而对于二0x+y=0元函数来说极限存在、

5、连续性、偏导数、可微分之可证在(0，0)点处有f'x(0，0)=f'y(0，0)=间的关系复杂得多，提供理论依据的是已经给出0．再证f(x，y)在(0，0)点不可微。因为Δz－的可微的必要和充分条件。对于推导不成立的Δx·Δy［fx(0，0)·Δx+fy(0，0)·Δy］=，22方面，学生往往感到茫然，下面，我们将给出具体槡(Δx)+(Δy)的反例来举例说明。若(Δx，Δy)沿直线y=x趋于(0，0)，则limΔx→0［1］1由二元函数可微的必要条件知，可微能Δy=ΔxΔz－［fx(0，0)·Δx+fy(

6、0，0)·Δy］推导出:函数连续、偏导数存在，即=limρΔx→0Δy=ΔxΔx·Δy1=．这表示ρ→0时，22(Δx)+(Δy)2，但是逆命题不成立。Δz－［fx(0，0)·Δx+fy(0，0)·Δy］并不是ρ1．1偏导数存在可微。例如，函数f(x，y)*收稿日期:2014－09－09作者简介:王霞(1982－)，女，山东潍坊人，讲师、硕士。主要研究方向:应用数学。—1—的高阶无穷小，因此函数在(0，0)点的全微分不1．4偏导数存在函数连续。例如函数f(x，存在，即函数在(0，0)点不可微。xy(x，y

7、)≠(0，0)221．2函数连续可微。例如，函数f(x，y)={x+y．x2y20(x，y)=(0，0)223x+y≠0y)=(x2+y2)2．f(0+Δx，0)－f(0，0){因为f'x(0，0)=lim=Δx→0Δx220x+y=00－0先证f(x，y)在(0，0)点连续，即证lim=0，同理可得f'y(0，0)=0，所以函数Δx→0Δx22limf(x，y)=f(0，0)=0．因为x+y≥(x，y)→(0，0)f(x，y)在(0，0)处偏导数存在。但是，1222xyk22(x+y)limf(x，y)

8、=lim=，所以xy41(x，y)→(0，0)x→0x2+y21+k22xy所以，0≤3≤3=y=kx(x2+y2)2(x2+y2)24xylim不存在，从而函数f(x，y)在122槡x2+y2。又因为lim槡x2+y2=0，由(x，y)→(0，0)x+y(x，y)→(0，0)4夹逼定理知，limf(x，y)=lim(x，y)→(0，0)(x，y)→(0，0)22xy=0．所以f(x，y)在(0，0)点连续。(0，0)点不连续