《线性规划的应用》进阶练习 (三)

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1、《线性规划的应用》进阶练习一、选择题.设点（，）满足条件，点（，）满足恒成立，其中是原点，≤，≥，则点的轨迹所围成图形的面积是（　　）.                  .已知平面区域Ω{（，）}，{（，）}，向区域Ω内随机投一点，点落在区域内的概率为（　　）. . . ..已知平面区域由以（，），（，），（，）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域上有无穷多个点（，）可使目标函数取得最小值，则（　　）                二、解答题.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料吨，原料吨；生产每吨乙产品要用原料吨

2、，原料吨，销售每吨甲产品可获得利润万元，每吨乙产品可获得利润万元．该企业在一个生产周期内消耗原料不超过吨，原料不超过吨．那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？(用线性规划求解要画出规范的图形).设函数，在其图象上一点(，)处的切线的斜率记为()．()若方程()有两个实根分别为和，求()的表达式；()若()在区间[，]上是单调递减函数，求的最小值．参考答案【参考答案】            .解：设该企业生产甲产品为吨，乙产品为吨，则该企业可获得利润为，则满足条件的约束条件为满足约束条件的可行

3、域如下图所示∵可化为，平移直线，由图可知，当直线经过(，)时取最大值联立，解得∴的最大值为××(万元)．.解：()根据导数的几何意义知()'()由已知、是方程的两个实数由韦达定理，∴，()(分)()()在区间[，]上是单调减函数，所以在[，]区间上恒有()'()≤，即()≤在[，]恒成立这只需满足即可，也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(，)距离原点最近，所以当时，有最小值．(分)【解析】.解：∵，∴≤，∵作出点（，）满足条件的区域，如图，即≤，且点（，）满足恒成立，只须点（，）在可行域内的角点处：（，），（，），≤成立

4、即可，∴即它表示一个长为宽为的矩形，其面积为：，故选．由已知中在平面直角坐标系中，点（，），则满足的点的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点的轨迹围成的图形的面积．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．.解：如下图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知．本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义，处理的思路为：根据已知的约束条件和画出满足约束条件的可行域Ω及的范围，再根据几何概型的意义，求出概率．线性规划与几何概型的综合应用，是高考常见题型，一般以选择或填空的形式出现，

5、解决此类问题的关键是：根据线性规划的约束条件，求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”（），再求出总的基本事件对应的“几何度量”，最后根据求解．.解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令，可得直线的斜率为，结合可行域可知当直线与直线平行时，线段上的任意一点都可使目标函数取得最小值，而直线的斜率为，所以，解得，故选．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，＜，或＜，或＜解得∈空集，或，或∈空集，所以，选．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，

6、小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！将目标函数化成斜截式方程后得：，若＞时，目标函数值与直线族：截距同号，当直线族的斜率与直线的斜率相等时，目标函数取得最小值的最优解有无数多个；若＜时，目标函数值与直线族：截距异号，当直线族的斜率与直线的斜率相等时，目标函数取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，

7、化成斜截式；②分析与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．.先设该企业生产甲产品为吨，乙产品为吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到值即可．.()根据导数的几何意义求出()'()，再根据、是方程()的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；()根据()在区间[，]上是单调减函数，得到函数()在区间[，]上恒有()'()≤，然后建立关于和的约束条件，而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(，)距离原点最近，

8、从而求出的最小值．