15.4.1提公因式法

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1、15.4因式分解15.4.1提公因式法第十五章整式的乘除与因式分解1.整式乘法有几种形式?(1)单项式乘以单项式(2)单项式乘以多项式:a(m+n)=am+an(3)多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn2.乘法公式有哪些?(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2复习与回顾做一做计算下列各式:3x(x-1)=_________m(a+b+c)=_______(m+4)(m-4)=______(x-3)2=__________

2、_a(a+1)(a-1)=______根据左面的算式填空:3x2-3x=__________ma+mb+mc=_____m2-16=___________x2-6x+9=_________a3-a=____________议一议由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解定义把一个多项式化成几个整式积的形式,这种

3、变形叫做把这个多项式分解因式.想一想:分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆运算例1下列各式由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？(1)2a(b+c)=2ab+2ac；(2)mx-my=m(x-y)；(3)(a+b)(a-b)=a2-b2；(4)a2-b2=(a+b)(a-b)；(5)m2-4mn+4n2=(m-2n)2；整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解温馨提示分解因式与整式乘法是互逆运算.分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是几个整式的乘积的

4、形式.3.要分解到不能分解为止.认识：不是所有的多项式都能因式分解，我们可以做的往往是整式乘法的逆运算.单乘多：m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc=m(a+b+c)：提取公因式乘法公式：利用公式因式分解多项式乘多项式：分组分解：因式分解：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。解:公因式多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式提公因式法我们从提取公因式入手，逐一学习：应提取的公因式为:________议一议：

5、多项式　　　　　　　　有公因式吗？是什么？公因式的确定方法：应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂你知道吗？例:找3x2–6xy的公因式。系数：最大公约数。3字母：相同的字母x所以，公因式是3x。指数：相同字母的最低次幂1练一练：多项式公因式因式分解结果应提取的公因式的是：

6、各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。找一找:下列各多项式的公因式是什么？（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（－2xy）(1)3x+6y(2)ab－2ac(3)a2－a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n－6mn(6)－6x2y－8xy2(1)8a3b2+12ab3c例2把下列各式分解因式(2)2a(b+c)–3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。解：原式＝4ab2(2a2＋3bc)

7、解：原式＝(b＋c)(2a－3)提取公因式法的一般步骤：（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。小明解的有误吗？把12x2y+18xy2分解因式解：原式=3xy(4x+6y)错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽。诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误注意：某项提出莫漏1。解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正确解：原式=3x

8、.x-6y.x+1.x=x(3x-6y+1)小华解的有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误诊断把-x2+xy-xz分解因式解：原式=-x(x+y-z)注意：首项有负常提负。正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正？怎样检验分解因式的结果是否正确？根据是什么？用整式乘法进行验证练一练：分解因式看你能否过关？把下列各式分解因式：(1)8m2n+2m