基本初等函数章末复习

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1、章末归纳总结指数函数、对数函数和简单的幂函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数、指数函数的概念及图象性质；对数运算、对数函数的概念及其图象和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．函数建模时往往涉及很多因素，如果把涉及到的所有因素都考虑到，是不可能的，也没有必要，而且还会使问题复杂化而导致建模失败，要想把实际问题变为数

2、学问题，需要对其进行必要的合理的简化和假设，梳理相应的数学问题即提出问题，有了数学问题，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集到的信息来描述变量之间的关系，本章第4节即用函数模型来描述，即函数建模，最后还需将模型的结果与研究的实际问题作比较，以检验所建模型及计算过程的合理性，如果检验结果不符合实际，应该修改、补充，通常一个模型可以经过多次反复修改才能得到满意的结果．因此，函数建模的主要过程即为：在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、

3、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．专题一　数形结合思想数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法，这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则．[例1]方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝

4、3x的图象，如图所示．由图象可知，它们的图象有两个交点，故选C.[点评]“数形结合”是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题方法的一种数学思想．通常包括“以数解形”和“以形助数”两方面．通过“以数解形”或“以形助数”，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合兼数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是基本的数学方法．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]D解法二：数形结合方法．在同一直角坐标系中分别作f(x)及y3＝1的图象．满足f(x

5、0)>1的x0的取值范围即为图象y1、y2在y3＝1的图象上方的部分对应的x值的集合，观察图象，即得x0<－1或x0>1.故选D.专题二　分类讨论思想分类讨论问题的实质是把整体问题代为部分来解决，化成部分从而增加题设条件，这是解分类讨论问题的指导思想．[例2]设a是实常数，求函数y＝4x＋4－x－2a(2x＋2－x)的最小值，并求相应的x值．[分析]将2x＋2－x看作整体，问题转化为求二次函数在给定区间上的最值问题．[点评]当问题所给的对象不能进行统一的研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出一类的结果，最后综合各类的结果得

6、到问题的解答．这种解决问题的思想即分类讨论思想．引起讨论的原因常见的有：问题涉及分类定义的概念，分类给出的性质，用分段函数表示的解析式，有范围或条件限制的定理、公式、法则，同一术语包含几种不同的情形、位置或形状不确定的图形等．特别是问题涉及参数且对参数的不同取值有不同结果．在进行分类时必须按照确定的分类标准，做到分类不重复又不遗漏．已知log2a＋3(1－4a)>2，求a的取值范围．专题三　等价转化思想数学问题中，已知条件是结论成立的保证，但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向需求结论靠拢，这就是解

7、题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．[例3]已知三个集合，分别为A＝{x

8、x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x

9、log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x

10、x2＋2x－8＝0}，求当a取什么实数时，A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立．[分析]转化条件A∩B≠∅与A∩C＝∅，将集合问题转化为方程解的问题．[解析]∵B＝{2,3}，C＝{2，－4}，要使A∩C＝∅成立，即2与－4都不

11、是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．要使A∩B≠∅，即3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，即32－a·3＋a2－19＝0，∴a＝5