竞赛辅导多元函数微分学

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1、多元函数微分学2012数学竞赛辅导第七讲一、重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）二、偏导数与全微分的计算四、应用（极值、切线、切平面）三、方向导数和梯度一、重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）是以“任意方式”1．重极限题型一：求极限常用方法：1）四则运算法则及复合函数运算法则；2）等价无穷小代换；3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.4）夹逼定理；例1.求0例4.(江苏2000竞赛)A.等于1；B.等于0；C.等于-1；D.不存在D例2.求0例3.求=e练习求=0题型二：证明重极

2、限不存在常用方法：沿不同路径极限不同（如：沿过点的直线）；2)沿某一路径极限不存在.例5判断函数在点的连续性.练习证明重极限不存在2.连续3.偏导数例6练习：几何意义例7.则在下列A.B.C.D.C条件中能保证4.全微分1)定义:若2)判定:必要条件:与都存在;充分条件:和在连续;是否为零?ii）用定义判定可微性：3)计算：5.连续、偏导存在和可微的关系题型三讨论连续性、可导性、可微性例8.CD例9A.极限存在但不连续B.连续但偏导数不存在C.偏导存在但不可微D.可微例10例11练习设,其中在点

3、的邻域内连续,问1)应满足什么条件才能使和都存在?2)在上述条件下在(0,0)点是否可微?（可微）练习2二偏导数与全微分的计算根据结构图，“分线相加，连线相乘”“分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意1.复合函数求导2.全微分形式不变性3.隐函数求导法方法:（b）两边求偏导（c）利用微分形式不变性:(1)（a）公式:(2)方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性例12设求和.题型一求一阶偏导数与全微分设,且当时,则例13.例14.(江苏06竞赛)练习：已知是某一函数的全微分,则取值分别为（）

4、B练习：例15.D题型二复合函数的偏导数与高阶偏导数练习.(07数一)练习.练习.设具有二阶连续偏导数,且满足又,求例16例17.注：偏导数的坐标变换-----看作复合函数求偏导数或全导2：例18.(江苏08竞赛)练习1：3：题型三隐函数的偏导数与全微分例19.A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数D例20.例21.练习.例22(99数一).题型四已知偏导数，求函数.例23例24.例25.

5、练习：例26.三、方向导数和梯度1.方向导数1)定义:可微,则2)计算:若2.梯度计算A)不连续;B)偏导数存在;C)沿任一方向的方向导数不存在;D)沿任一方向的方向导数均存在;在点(0,0)处例27函数()DD()例28设,则A)f(x,y)在(0,0)点连续;为任一方向的方向余弦.B),其中C)在点沿轴负方向的方向导数为.D)练习.练习：例29练习：四、多元函数微分学的应用1.曲面的切平面与法线2.曲线的切线与法平面,,法向量:2)曲面1)曲面2)曲线,切向量:,法向量:其中1)曲线,切向量

6、:练习：题型一建立曲面的切平面和法线方程例30.例31.练习练习题型二建立空间曲线的切线和法平面方程,练习求曲线在点处的切线方程和法平面方程.练习(03数一)3.极值与最值1).无条件极值；定义:极大极小必要条件充分条件2).条件极值与拉格朗日乘数法3).最大最小值极值点驻点题型一求无条件极值例32求由方程所确定函数的极值.1)在点处,极大值2)在点处,极小值解2配方解1：驻点例33.D注：通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。例34.例35例36B例37解

7、法1:保号性解法2:排除法解法3：特殊函数D练习（03数一）A题型三求最大最小值题型二求条件极值练习求函数在条件下的极值.解法2:化为无条件极值.解法1:拉格朗日乘数法,极小值8,0练习B例38.A.最大最小值点都在D的内部;B.最大最小值点都在D的边界上;C.最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上;D.最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上;例39练习：例40.例41：提示：例42.（5,-5),(-5,5)