变化率与导数、导数的计

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1、1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.(理)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.1.导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.(2)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处

2、的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝(3)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)原函数导函数f(x)＝cf(x)＝xn(n∈Q*)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f(x)＝lnx3.基本初等函数的导数公式f′(x)＝0f′(x)＝exf′(x)＝nxn－1f′(x)

3、＝cosxf′(x)＝(a＞0且a≠1)f′(x)＝axIna(a>且aa≠1)f′(x)＝f′(x)＝-sinx4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝(3)＝.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(g(x)≠0)5.复合函数的导数(理)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的积.f′(u)u′x1.若f(x)＝2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于()A.3＋2ΔxB.4

4、＋ΔxC.4＋2ΔxD.3＋Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx.答案：C2.函数y＝xcosx－sinx的导数为()A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx解析：y′＝(xcosx－sinx)′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B3.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°解析：设倾斜角为α.∵y′＝3x2－2，∴y′

5、x＝1＝3×12－2＝1，∴α＝45°.答案：B4.设f(x)＝＋，

6、则f′(x)＝.解析：f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′＝()′＝＝答案：5.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为.解析：由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1，0).答案：(1,0)根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：1.求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；2.求平均变化率＝；3.得导数f′(x0)＝.上述过程可简化为：一差、二比、三极限.利用导数的定义求函数y＝的导数.[思路点拨]按照

7、一差、二比、三极限.[课堂笔记]∵Δy＝＝，∴，∴，即y′＝.若将“y＝”改为“y＝”呢？解：Δy＝，1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)Y＝；(4)(理)y＝ln(3x－2)＋e2x－1.[思

8、路点拨]化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解.[课堂笔记](1)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；(3)y′＝＝；(4)(理)y′＝[ln(3x－2)＋e2x－1]′＝[

9、ln(3x－2)]′＋(