数学北师大版九年级上册反比例函数与一次函数相交问题

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1、反比例函数与一次函数相交问题西安铁一中分校李文萍教学内容分析：本节课是一节反比例函数与一次函数的综合课，反比例函数是北师大版九年级上册第六章内容，一次函数是北师大版八年级第四章内容，学生已经掌握这两章的基本内容，对一反比例函数与一次函数知识点的综合应用还没有涉及，而一次函数与反比例函数知识点的综合应用是初中数学的基础知识，也是初中水平学业考试必然要考察的知识要点，所以本节课主要通过探究反比例函数与一次函数相交问题，掌握反比例函数与一次函数相交的问题的知识要点，提高学生解题效率，提升学生综合应用能力，学习数学分类讨论思想，培养学生探究

2、精神。教学目标：1.反比例函数与一次函数相交问题中线段之间的数量关系.2.反比例函数与一次函数只有一个交点时，这个交点位置的特殊性.3.反比例函数与正比例函数相交时，这两个交点的位置关系.4.通过本节课知识的学习，让学生体会数学分类讨论思想，培养学生探究精神.教学重点：1.反比例函数与一次函数相交问题中线段之间的数量关系.2.反比例函数与一次函数只有一个交点时，这个交点位置的特殊性.3.反比例函数与正比例函数相交时，这两个交点的位置关系.教学难点：反比例函数与一次函数相交问题中线段之间的数量关系以及探究过程中建立数形结合和分类讨论的

3、思想.教学方法：“探究—归纳—总结—运用”教具：三角板、多媒体课件教学过程：一、回顾与思考前面我们已经学习了反比例函数为,一次函数为并且知道了反比例函数与一次函数有无交点的问题转化为方程组是否有解进而转化为①是否有解.得出结论为：（1）＞方程①有两个不相等的实数解与有两个交点.（2）方程①有两个相等的实数解与有唯一一个交点.（3）＜方程①没有实数解与没有交点.一、讲授新课这节课我们接着上节课继续更进一步探究反比例函数与一次函数相交问题.【问题1】在这里我们设反比例函数为，一次函数为有两个交点,且一次函数为与轴交于点，与轴交于点.大家

4、来观察一下，图中是否有相等线段，如果有怎么来证明？若没有，说明理由.（分组讨论，给学生留充分的时间让学生深入讨论,让学生意识到这个问题的解决需要分情况讨论，分情况画出图形、进行证明，并有学生说明证明方法.）证明:（1）若一次函数与反比例函数两个交点在同一象限，不妨设两个交点在第一象限，如图1.过点作⊥轴于点，过点作⊥轴于点,则∠=∠=∵⊥轴，轴⊥轴∴∴∠∠由题知：与轴交于点的坐标为.设，，由方程①知：∴∴∴∴∴∴即.（2)一次函数与反比例函数两个交点不在同一象限，不妨设两个交点在第一、三象限，证明:如图2.由（1）的证明得：∴即.【

5、结论】如果一次函数为和反比例函数为有两个交点,且一次函数为与轴交于点，与轴交于点,那么。【问题2】请同学生思考：若在（1）的情况下向下平移直线，你会有生么发现呢？（线段AB逐渐变短，直到点重合，再向下平移，直线和反比例函数无交点），当点重合时，这个点与线段CD有什么位置关系呢？请说明理由。（学生思考，讨论，给出讨论结果，说明理由。）证明：如果一次函数为和反比例函数为有唯一一个交点，即在（1）中，点重合时，如图3.∵，点重合∴∴点是线段的中点.【推论1】如果一次函数为和反比例函数为有唯一一个交点,且一次函数为与轴交于点，与轴交于点，那

6、么点是线段的中点.【问题3】请同学生思考：若在（2）的情况下向上平移直线，你会有生么发现呢？（线段CD逐渐变短，直到点重合，再向上平移，一次函数和反比例函数相交问题同（2），当点重合时，点A与点B有什么位置关系呢？请说明理由。（学生思考，讨论，给出讨论结果，说明理由。）证明：如果正比例函数为和反比例函数为有交点，即在（1）中，点重合时，如图4.∵，点重合.∴∴点关于原点对称.【推论2】如果正比例函数与反比例函数有交点，那么这两个交点关于原点对称.一、课堂练习【中考题实例】1.如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，那么的

7、值为.解：∵正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称.∴2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）.解：由题知,由推理1知，是线段的中点.∴为∴过的反比例函数为∴所求反比例函数中，.3.如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且AB·AC=4，则k=.解：过点作⊥轴于，⊥轴于，由题知：∠=∠=,∴一、课时小结本节课知识要点：结论1，推论1,推论2；学习方法：分类讨论学生谈本节课的收获。五、作业布置对应试卷一张。板书设计6

8、.3一次函数的图象（二）1、反比例函数与一次函数2.反比例函数与一次函数3.推导结论交点问题相交问题（1）———————证明：（1）——————－（2）———————　　　　　　　　　　　　　　　（3）———————