空间距离的概念及其求法

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1、11.2.4空间距离的概念及其求法一.几种距离的概念1.点到平面的距离2.直线到平面的距离3.两平面的距离4.异面直线的距离二.向量法求距离（1）点到平面距离的向量公式d=（2）线面、面面距离的向量公式d=或d=（3）异面直线的距离的向量公式d=求空间中点到直线的距离正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是BB1的中点，则E到AD1的距离是()AaBaCaDa解析：连结D1E、AE，过E作EH⊥AD1于H，在△AD1E中易求EH=a.D求点到平面的距离已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为

2、CC1中点，点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.思路分析：第一问即是证明两组线线垂直，第二问可考虑等体积法。[解答]（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线.（II）解：连结ED1，有，由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S

3、△DBD1·EF.，∵AA1=2·AB=1.故点D1到平面BDE的距离为点评与感悟：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一定可以通过题设算得。设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，７），D（－５，－4，8），求D到平面ABC的距离.解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），∵n·=0，n·=0，∴即令z=－2，则n=（3，2，－2）.∴cos〈n，〉=∴点D到平面ABC的距离为d，d=·

4、cos〈n，〉

5、

6、==或点评与感悟：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=

7、也可这样求d=

8、

9、cos〈n，〉

10、.求异面直线间的距离如图所示，已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED与AC的中点，求：（1）PM与FQ所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）

11、、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，，0）.（1）∴=（－a/2，0，a/2），=（a/2，－a/2，－a），=（－a/2）×a/2+0+a/2×（－a）=－3/4a2，且=a，=a.∴cos〈，〉===－故得两向量所成的角为150°.（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即

12、n

13、=1，n⊥平面EFB，∴n⊥n⊥又=（－a，a，0），=（0，a，－a），即有得其中的一组解n=（,,），=（a/2，0，a/2）.设所求距离为d，则d=

14、·n

15、=a（3）设e=

16、（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=(-a/2,0,a/2).=(a/2,a/2,-a)，得求得其中的一个e=（，－,），而=（0，a，0）.设所求距离为m，则m=

17、·e

18、=

19、－a

20、=a.本节完