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1、空间距离的常用求法策略内蒙古科技大学附属中学申炎（014030）本文主要介绍高中阶段在立体几何中求解空间距离的一些常用方法，这些方法包括了点面距离，线而距离，面面距离以及异面直线距离求解的常用方法，其中包含近年来的高考题真题，并为这些题目提供了一些新的解法。—直接法直接利用点到面的距离，线血距离，两平行平血的距离以及两界血直线的距离的定义来计算求解。卩=1,Aea,Bw0,AB=5,例1（2008年重庆文20）如图,a和0为平面，aA,B在棱/上的射影分别为A',B‘，AAf=3fBB'=2°若二面角a-1-p的
2、的延长线于D。由己知AA'丄儿可得DB'丄I,又已知BB'A.I,故/丄平面BB'D,得BD丄又因丄CB',从而BD丄平面a,BD之长即为点B到平面q的距离。因B'C丄/且故ZBBfC为二面角a-l-0的平面角。27Tjr由题意，如C=〒因此在R卄时中，吩2,如D="C「,BD=BBrsinZBBfD点评：在直接法作点到平面的距离时，要注意确定垂足的位置，以便于计算。7115例2（2008年重庆理19）如图，在fABC中，ZB=-,AC=—,D、E两点分别在22AB.AC上，^—=—=2,DE=3。现将「ABC沿
3、DE折成直二面角，求：界面DBEC直线AD与BC的距离。AD、EAnAp解：在图⑴屮，因——=—,故DE//BC.DBEC71又因ZB=-,从而AD丄DEq2因A—DE—B是直二面角，AD丄DE,故AD丄底面DBCE,从而AD丄DB。而DB丄BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线。下面求之长。在图⑴中，由ADAEc存DEAD2DBECBCAB3又已知DE=3,从而BC=-DE=-f32AB=JAC?_BC?=J(—)2-(-)2=6oJ因—=1,故DB=2.AB3二转移法常用的方法有将线而距离转化为点面距离，将
4、线线距离转化为线而距离或而而距离。还有A点到平面的距离可以转化为与其相关的B点到平面的距离等。例3（2005年湖南）正方体ABCD-A.B.QD,的棱长为1,点0是底面A,B}C}DX的中心,则0到平面ABCQ的距离为（）(A)(B)—(D)V32D1C1即4到平面A8CQ的距离为解：如图作丄AZ),,则AE=—o因为G口丄平面*2。，所以go丄人£,故AE丄平面4BC
5、£V又。为4G的中点，所以。到平面ABCQ的距离为人到平面A8C；a的距离的一半。故而选(B)o点评：本题将点o到YrffiABC.z),的距离
6、转换为点A到TWbc.o,的距离，从而简化了计算。例4如图，ABCD为边长为4的正方形，GC丄平面ABCD,GC=2,E,F分别是ADfAB的中点。(1)求点B到平面EFG的距离；(2)求点4到平面EFG的距离。解：(1)如图，连接BD、AC,BDAC=H；EFAC=I0在正方形ABCD中，E、F分别是AD.AB的中点，BD//EF,所以BD〃平面EFG。因此点B到平面EFG的距离等于线段BD到平面EFG的距离，即点H到平面EFG的距离。设点H到平面EFG的距离为d},在RT^GCI^,-^=—,HIGId严些H
7、l=亠近=込・GI72211(2)因为点A与点H关于线段EF对称，所以点A到平面EFG的距离等于点H到平面EFG的距离。故点A到平面EFG的距离等于巫I。11点评：本题利用线面平行，将点到平面的问题转化为线面距离，避免了从点B向平面EFG作垂线的问题。三体积法当点到平面的距离一时不易求出时，可先构建一个合适的三棱锥，若此三棱锥的底面积易求，且通过体积变换，此三棱锥的体积也能求出，则点到平面的距离可得。例5(2008安徽理18)如图，在四棱锥O-ABCD屮，底面ABCD边长为1的菱形，JTZABC=-,04丄底面A
8、BCD,OA=2yM为OA的中点，N为BC的中点4(I)证明：直线MN〃平面OCQ:(II)求异面直线与MD所成角的大小；(III)求点B到平面OCD的距离。解：(I)略(II)略(III)连接BD,设点B到平面OCD的距离为力Vb_ocd=V*点评：这类题型利用三棱锥的体积不变的性质，避免了从点B向平面OCD作垂线，垂足不易确定的问题，解法摆脱了常规思维，大大简化了解题过程。四极值法有时通过建立所求的两个研究对象上任意两点Z间的距离的函数关系，来求该函数的最小值，此最小值即为这两个对彖之间的距离。例6棱长为q的
9、正方体AC；中，求异面直线BD与之间的距离。CAB解：如图，在BC上任取一点作MVJB7于H,再过H作HN丄BD于N,连接MN。平面EC；丄平面AC,MN丄平面AC。设MC=x,则MH=V22MHA.MN。・•.HN=-a--x2271ZMHN=-2MS’所以异面直线BD与BC之间的距离为o点评：极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上的任意一
