2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练及参考答案

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1、2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线和.试确定、的值，使：(1)与相交于点；(2)∥；(3)⊥，且在轴上的截距为－1.【答案】（1），.（2），时或，时，∥.（3），【解析】(1)由题意得，解得，.(2)当时，显然不平行于；当时，由，得　或.即，时或，时，∥.(3)当且仅当，即时，⊥.又，∴.即，时，⊥，且在轴上的截距为－1.【易错点】忽略对的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或时，并且对于直线平行和垂直时与和间的关系要熟练记忆。例2如图，设一直线过点(－

2、1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．【答案】.【解析】与、平行且距离相等的直线方程为.设所求直线方程为，即.又直线过，∴.解.∴所求直线方程为.13【易错点】求错与、平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到、平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）例1已知实数、满足方程.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值．【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）的最大值为，最

3、小值为.【解析】(1)原方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆．设，即，当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时，解得.故的最大值为，最小值为.(2)设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即.故的最大值为，最小值为.【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。例2已知点，为圆上一动点，当点在圆上运动时，的中点的轨迹方程是　　　　　.【答案】.【解析】设点为所求轨迹上任意一点，.因为M为PQ的中点，所以即又因为点在圆上，所以，13故所求的轨迹方程为.【易错点】中点的错误应用【思维点拨】求出中

4、点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三直线与圆、圆与圆的位置关系例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是　　　　.【答案】PQ∈.【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=2sinθ.又cosθ=，AC∈[3，+∞)，所以cosθ∈，所以cos2θ∈，sin2θ=1-cos2θ∈，所以sinθ∈，所以PQ∈.【易错点】直接去求线段的长度【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.例2已知圆(1)若圆的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线

5、的方程；(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有求使得取得最小值时点的坐标．【答案】（1），或.（2）【解析】(1)将圆配方得.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为，由，解得，得.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，13设直线方程为，由，得，.∴直线方程为，或.(2)由,得，即点在直线上．当取最小值时，即取得最小值，直线，∴直线的方程为.得点的坐标为.【易错点】没有分类讨论【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题题型四定点定值轨迹问题例1已知t∈R，圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若

6、圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.(2)圆C是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.（2）过定点，定点坐标为【解析】(1)由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圆心为C(t，t2).依题意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)·t2=0，令所以圆C过定点(2

7、，0).【易错点】漏解【思维点拨】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.13例2如图，已知圆C：x2+(y-3)2=4，一动直线l过点A(-1，0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当PQ=2时，求直线l的方程.(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）x=

8、-1或4x-3y+4=0.（3）·与直