2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及参考答案

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1、2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求曲线的方程例1已知，，点满足，记点的轨迹为．求轨迹的方程．【答案】【解析】由可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，由，∴，故轨迹的方程为.【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点满足，则点的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“”只能表示点的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二定值、定点问题例2已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两

2、点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【答案】(1)＋y2＝1，e＝(2)2.22【解析】(1)由题意得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.又c＝＝，所以离心率e＝＝.(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2).令x＝0，得yM＝－，从而

3、BM

4、＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，

5、得xN＝－，从而

6、AN

7、＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝

8、AN

9、·

10、BM

11、＝＝＝从而四边形ABNM的面积为定值.【易错点】(1)．想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线PA，PB的方程．不会由直线PA，PB的方程求解

12、BM

13、，

14、AN

15、；(2)．不知道四边形的面积可用S＝

16、AN

17、·

18、BM

19、表示；(3)．四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值．【思维点拨】第(1)问由a＝2，b＝1，c＝，解第一问；22第(2)问画草图可知AN⊥BM，四边形ABNM

20、的面积为

21、AN

22、·

23、BM

24、，设点P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，进而得出M，N的坐标，得出

25、AN

26、，

27、BM

28、，只需证明

29、AN

30、·

31、BM

32、是一个与点P的坐标无关的量即可．例3已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．【答案】(1)＋y2＝1(2)(2，－1)【解析】(1)因为P3，P4，所以P3，P4两点关于y轴

33、对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.由题设知t≠0，且

34、t

35、<2，可得A，B的坐标分别为，.22则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而k1＋k2＝＋＝＋

36、＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1).22【易错点】(1)观察不出P3，P4对称，忽视对称性导致判断失误;(2)不会用点的坐标代入方程判断P1，P2是否在椭圆上而滞做;(3)联立直线l与椭圆C的方程，计算化简失误而滞做;(4)利用k1＋k2＝－1运算变形不明确变形目标，导致化简不出k，m的关系．【思维点拨】第(1)问利用椭圆

37、的性质，易排除点P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设l：y＝kx＋m，利用条件建立k，m的等量关系，消参后再表示出直线l的方程可证明．题型三最值（范围）问题例4已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【答案】(1)＋y2＝

38、1(2)【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b＝c＝1，a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)22，与＋y2＝1联立，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2＋2)＝，即