2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及参考答案

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1、2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f(x)＝

2、x－1

3、＋

4、x－2

5、.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f(x)＝

6、x－1

7、＋

8、x－2

9、＝所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1.因为f(x)

10、＞a恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式

11、x－1

12、＋

13、x＋2

14、≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(1).【解析】(1)∵

15、x－1

16、＋

17、x＋2

18、≥

19、(x－1)－(x－2)

20、＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒

21、成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔acd，则＋>＋；(2)＋>＋是

22、a－b

23、<

24、c－d

25、的充要条件．【答案】略.【解析】[证明]　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若

26、a－b

27、<

28、c－d

29、

30、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此

31、a－b

32、<

33、c－d

34、.综上，＋>＋是

35、a－b

36、<

37、c－d

38、的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分

39、析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一解绝对值不等式1.不等式

40、x－1

41、＋

42、x＋2

43、≥5的解集为________【答案】{x

44、x≤－3或x≥2}.【解析】原不等式等价于或或解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x

45、x≤－3或x≥2}．52.已知函数f(x)＝

46、x＋a

47、＋

48、x－2

49、.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤

50、x－4

51、的解集包含[1,2]，求a的取值范围【答案】（1）{x

52、x≤1或x≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f

53、(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2

54、x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤

55、x－4

56、⇔

57、x－4

58、－

59、x－2

60、≥

61、x＋a

62、.当x∈[1,2]时，

63、x－4

64、－

65、x－2

66、≥

67、x＋a

68、⇔4－x－(2－x)≥

69、x＋a

70、⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．3.设函数f(x)＝.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范

71、围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a≥－3.【解析】(1)由题设知

72、x＋1

73、＋

74、x－2

75、－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝

76、x＋1

77、＋

78、x－2

79、和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x∈R时，恒有

80、x＋1

81、＋

82、x－2

83、＋a≥0，即

84、x＋1

85、＋

86、x－2

87、≥－a，又由(1)知

88、x＋1

89、＋

90、x－2

91、≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）.【解析】⑴如图所示：5（2）2.不等式

92、

93、x＋1

94、－

95、x－2

96、>k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据