《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题2-2

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1、§2.2矩阵的运算１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）1、引例产品ⅠⅡⅢ一厂二厂三、矩阵与矩阵相乘ⅠⅡⅢ单位单位价格利润总收入总利润一厂二厂可见c11=a11b11+a12b21+a13b31cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j2、定义并把此乘积记作C=AB设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中例１设例

2、2故解注意1只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.注意2：AB的行数=A的行数；AB的列数=B的列数练习：1、2、3、=(）4、线性方程组记则有AX=b注意3矩阵不满足交换律，例3设则如前练习题1、2即一般地AB≠BA但也有例外，比如设则有此时称矩阵A、B可交换。注意4矩阵不满足消去律，即：（1）若AB=AC，A≠0不能推出B=C（2）若AB=0不能推出A=0或B=0例4设２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注意:一般地(AB)k≠AkBk定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵四

3、、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵；其次证明两边矩阵的对应元素相等。因为(AB)T位于第i行第j列的元素=AB位于第j行第i列的元素=A位于第j行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和=BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和=BTAT位于第i行第j列的元素例5已知解法1解法22、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质记C=AB，构造一个2n阶行列式=(-1)n

4、C

5、(-1)n=

6、AB

7、3、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

8、说明例6设列矩阵满足证明例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.证明故同理可得五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答答故成立的充要条件为