线性代数与空间解析几何（哈工大）课件.ppt

《线性代数与空间解析几何（哈工大）课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数与空间解析几何王宝玲哈工大数学系线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的应用.本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融为了一门课程.代数中的许多概念非常抽象，几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数为几何提供了便利的研究工具.代数与几何的融合能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法处理几何问题.简介线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与

2、线性变换等．解析几何的内容包括：几何向量、空间中的平面与直线、二次曲面.第一章n阶行列式在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论如下几个问题：1、行列式的定义；2、行列式的性质；3、行列式的计算；4、Cramer法则．1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：设二元线性方程组（1）其中现在讨论线性方程组（1）的求解公式，对（1）作加减消元得:（2）式（2）就是式（1）的解，但（2）不易记忆，因此有必要引进新的符号--“行列式”来表示（2）式．定义:设是四个数

3、，称代数和为二阶行列式，记作称为这个二阶行列式的元素，的两个下角标分别表示所在的行和列的序号，常称是行列式的（）元素．对线性方程组（1），记(1)的解（2）可写成由于对线性方程组为了得出关于三元线性方程组则方程组的解可以写成的类似解法，我们引入三阶行列式．定义:称为三阶行列式．例如为了研究n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式加以推广，引入n阶行列式．1.1.2全排列的逆序数、对换为了给出n阶行列式的定义，首先介绍全排列的“逆序数”与全排列的“对换”．定义:把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，或n阶排列（简称排列）．n个不同

4、元素的排列共有种例如:自然数1，2，3的排列共有六种：123，132，213，231，312，321．为了方便起见，今后把自然数视为n个不同的元素的代表。用表示这n个不同的元素中的一个，且时于是便是的一个排列．对于排列，称排在前且比大的数的个数为的逆序数，把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数，逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列；记作：例3例1　自然排列例２　排列的逆序数为求排列的逆序数例４逆序数为定义:在一个排列中，将某两个数的位置对调（其他数不动）的变动叫做一个对换．定理1.1一个排列中的任意两个数

5、对换后，排列改变奇偶性．定理1.2在全部n阶排列中，奇偶排列各占一半．为n阶行列式，其中是对所有n阶排列取和．此行列式可简记或．记一阶行列式；1.1.3n阶行列式的定义定义n2个元素排成n行n列，称例5三角形行列式（或对角形行列式）等于主对角线上n个元素的乘积．例6负三角形行列式n阶行列式的等价定义：1.2n阶行列式的性质定义:设，称为D的转置行列式．性质1行列式与转置行列式相等，即性质2互换行列式的两行（列），行列式变号，即推论如果行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零，即性质3把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数c，等于用数

6、c乘以这个行列式，即推论1如果行列式某一行（列）有公因子k时，则该公因子k可以提到行列式的符号外面．性质4如果行列式某行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即推论2如果行列式有两行（列）成比例，则该行列式为零．利用这些性质可以化简行列式的计算，得行列式计算的三角形法：即化行列式为三角形行列式性质5把行列式的某一行（列）的各元素同乘以数c加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变，即例７计算行列式解例８已知计算解由性质4=（推论2）=　　（性质4）=（性质1及推论1）下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的

7、问题，即：1.3行列式展开定理．定义：在给定的n阶行列式中，把元素所在的i行和j列的元素划去,剩余元素构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记作;而元素的代数余子式记作，定义例９　在行列式中定理1.3n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即定理1.4n阶行列式，则利用符号函数证明：由及性质6将G按j行展开有例1０例11计算行列式解　将各列都加到第一列后再提出公因子得例1２已知计算（1）（2）解=–3=–25例13已知计算解例14不计算行列式值，利用性质证明证令由于是的三次多项式，且因此有例15求方程的

8、根.解所求根为x=2和x=-4.例16计算行列式的值解总结n阶行列式的计算n阶行列式的计算主要有如下几种方法：1定义法—利用n阶行列式的定义计算;2三角形法—利用性质1—性质5化为三角形行列式来计算；3展开