《高等数学课件习题》PPT课件

《《高等数学课件习题》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、主要内容平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性方向导数全微分概念偏导数概念微分法在几何上的应用多元函数的极值二元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。确定极限不存在的方法：二元函数的连续性定义定义′注意：二元函

2、数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理偏导数的定义只要把x之外的其他自变量暂时看成常量，对x求导数即可。只要把y之外的其他自变量暂时看成常量，对y求导数即可。注意：有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要

3、用定义求；混合偏导高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.(注意：混合偏导数相等的条件)全微分的定义多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在--全微分形式不变性uv1、zx型复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.特殊地其中2、zuvxy型隐函数的求导法则3.常用方程两边求导法微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线的方程曲线在M0点的切向量：过M0点处的法平面方程：过M0点的切线方程：法平面方程为：2.空间曲线方程为曲线在M0(x0,y0,z0)点处的切向量切

4、线方程：法平面方程为：切线方程：曲线在M0(x0,y0,z0)点处的切向量3.空间曲线方程为(方程两边求导法求二、曲面的切平面与法线1.若曲面方程为曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面方程法线方程为曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量2.若曲面方程为曲面在M处的切平面方程曲面在M处的法线方程曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量方向导数定义记为梯度三元函数的梯度多元函数的极值驻点极值点注意：条件极值拉格朗日乘数法求解方程组第六章习题课机动目录上页下页返回结束一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数

5、微分学一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束1.讨论二重极限解法1解法2令解法3令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令机动目录上页下页返回结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3令机动目录上页下页返回结束此法忽略了的任意性,极限不存在!由以上分析可见

6、,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:机动目录上页下页返回结束而所以f在点(0,0)不可微!机动目录上页下页返回结束例1.已知求出的表达式.解法1令即解法2以下与解法1相同.则且机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量

7、总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束例2.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2方程两边求微分,得化简消去即可得机动目录上页下页返回结束例3.设有二阶连续偏导数,且求解:机动目录上页下页返回结束练习题1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数2.同济(下)P73题12机动目录上页下页返回结束解答提示:第1题机

8、动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束设求提示:机动目录上页下页返回结束①②利用行列式解出du,dv：机动目录上页下页返回结束代入①即得代入②即得有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:(2001考研）机动目录上页下页返回结束3.设三、多元函数微学的应用1.在几何中的应用求曲线在切线