《高等数学A习题》PPT课件

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1、导数的应用习题课(4)二、作业讲析三、典型例题讲析四、练习题一、内容总结内容总结1、微分中值定理，L’Hospital法则⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用其证明一些命题、等式及不等式⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的条件，会用Taylor公式进行近似计算⊙熟练掌握L’Hospital法则拉格朗日中值定理微分中值定理及其应用微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的

2、两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.2、导数的应用⊙掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法⊙掌握利用函数单调性证明不等式的方法⊙理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值的求法⊙了解函数曲线的凹凸性与拐点的概念，掌握曲线的凹凸性与拐点的判定⊙会利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等性态描绘函数的图形⊙明确

3、函数的最值与极值在概念上的区别，掌握最值的求法及其简单应用典型例题讲析例1分析要证，即要证设函数(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内至少存在一点，使或可取F(x)=(b-x)[(x)-(a)]，利用罗尔定理证明.证明令F(x)=(b-x)[(x)-(a)]，则有F(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且有F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知(a,b)，使，即例2设f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导(a>0,b>0),求证方程在(a,b)内至少有一个实根.分析不可用介值定

4、理证明(不一定连续)；考虑中值定理，为此方程变形为则若取有且证明令则F(x)也在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且由罗尔定理知(a,b)，使，即或又证取函数f(x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.即为原方程的一个实根.下面的证法为什么错了？f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx，它在[a,b]上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故为原方程的一个实根.例3讨论函数在x=0点的连续性.解其中故又而故f(x)在x=0点连续.例4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式

5、，不能用罗必达法则.例5解求下列极限：总结：求函数的极限，不要拘泥于L’Hospital法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功倍的效果.例6当k为何值时,方程x-lnx+k=0在区间(0,+)上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?解记有，故x=1为极小值点，又f(x)在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为f(x)在(0,+)内的最小值，且fmin=f(1)=1+k又(1)当1+k<0,即k<-1时,原方程有两个相异实根；(2)当1+k=0,即k=-1时,原方程有唯一的实根；(3)当1+k>0,即k>-

6、1时,原方程无实根.于是例7解证明当时，sinx+tanx>2x取因此在上严格单调增，故从而f(x)在上严格单调增，即亦即sinx+tanx-2x>0或sinx+tanx>2x例8曲线上那一点处的法线在y轴上的截距最小？解设在(x,y)处的法线为因故法线方程为整理后为法线在y轴上的截距为求其极值：令解得x1=1,x2=-1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1,1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.例9当a,b为何值时,点(1,3)为曲线的y=ax3+bx2拐点？解令得当时，，曲线在上严格上凸；当时，，当时，曲线在上

7、严格下凸；于是点为曲线唯一的拐点.而要使(1,3)为拐点,须,即课内练习题1.f(x)在[0,1]上可导，00)有几个实根？4.证明不等式5.讨论函数的性态，并作图.课外练习题6.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.连接点A(a,f(a))和B(b,f(b))的直线段AB与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))(a

8、a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.证明存在一点(a,b)，使9.某下水道涵洞的截面为矩形加半圆(如图).截面的面积为5m2，问底宽为多少可使截面的周长最小，从而使建造时所用材料最省？练习题答案2.1.提示：先证