《高等数学A习题课》PPT课件

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1、导数的应用习题课(4)二、作业讲析三、典型例题讲析四、练习题一、内容总结内容总结1、微分中值定理，L’Hospital法则⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用其证明一些命题、等式及不等式⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的条件，会用Taylor公式进行近似计算⊙熟练掌握L’Hospital法则2、导数的应用⊙掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法⊙掌握利用函数单调性证明不等式的方法⊙理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值的求法⊙了解函数曲线的凹凸性与拐点的概念，掌握曲线的凹凸性与拐点的判定⊙会利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等性态描绘函数

2、的图形⊙明确函数的最值与极值在概念上的区别，掌握最值的求法及其简单应用作业中问题的讲析典型例题讲析例1分析要证，即要证设函数(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内至少存在一点，使或可取F(x)=(b-x)[(x)-(a)]，利用罗尔定理证明.证明令F(x)=(b-x)[(x)-(a)]，则有F(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且有F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知(a,b)，使，即例2设f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导(a>0,b>0),求证方程在(a,b)内至少有一个实根.分析不可用介值定理证明(不一定连续)；考

3、虑中值定理，为此方程变形为则若取有且证明令则F(x)也在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且由罗尔定理知(a,b)，使，即或又证取函数f(x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.即为原方程的一个实根.下面的证法为什么错了？f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx，它在[a,b]上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故为原方程的一个实根.例3讨论函数在x=0点的连续性.解其中故又而故f(x)在x=0点连续.例4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.例5解求下列极限：总结：求函数的极限，不要拘泥于L’Ho

4、spital法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功倍的效果.例6当k为何值时,方程x-lnx+k=0在区间(0,+)上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?解记有，故x=1为极小值点，又f(x)在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为f(x)在(0,+)内的最小值，且fmin=f(1)=1+k又(1)当1+k<0,即k<-1时,原方程有两个相异实根；(2)当1+k=0,即k=-1时,原方程有唯一的实根；(3)当1+k>0,即k>-1时,原方程无实根.于是例7解证明当时，sinx+tanx>2x取因此在上严格单调增，故从而f(x)在上严格单调增，即亦即sin

5、x+tanx-2x>0或sinx+tanx>2x例8曲线上那一点处的法线在y轴上的截距最小？解设在(x,y)处的法线为因故法线方程为整理后为法线在y轴上的截距为求其极值：令解得x1=1,x2=-1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1,1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.例9当a,b为何值时,点(1,3)为曲线的y=ax3+bx2拐点？解令得当时，，曲线在上严格上凸；当时，，当时，曲线在上严格下凸；于是点为曲线唯一的拐点.而要使(1,3)为拐点,须,即课内练习题1.f(x)在[0,1]上可导，0

6、)=.2.求下列极限：3.讨论方程lnx=ax(其中a>0)有几个实根？4.证明不等式5.讨论函数的性态，并作图.课外练习题6.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.连接点A(a,f(a))和B(b,f(b))的直线段AB与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))(a

7、定理),再证唯一性(罗尔定理).（提示：用泰勒公式做）（提示：1型）3.记当时，故f(x)在内严格单调增；当时，故f(x)在内严格单调减；从而为最大值，又于是当有，这时曲线y=lnx-ax与x轴只有一个交点，即原方程有唯一实根.同理当有，当有，这时曲线y=lnx-ax与x轴分别有两个交点和没有交点，即原方程分别有两个实根和没有实根.g(x)=tanx-x在[0,x]上严格单调增，即有g(x)=tanx-x>g(0)=0故从而f(x)在上严格单