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1、第一章集合与函数概念李世明函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体表现。现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系。数学上,我们用函数模型描述这种依赖关系,并通过研究函数的性质了解它们的变化规律。集合是现代数学的基本语言,可以简洁、准确地表达数学内容。在本章,我们将学习集合的一些基本知识,用集合语言表示有关数学对象,并运用集合和对应的语言进一步
2、描述函数概念,感受建立函数模型的过程和方法,初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。1.1.1集合的含义与表示一、引言:“物以类聚,人以群分”.数学中也有类似的分类.1.在初中我们学过:代数:自然数的集合、有理数的集合、不等式的解集等;2.在初中,我们用集合描述过:圆的概念、线段的垂直平分线是用集合描述的.几何:点的集合等。补充示例:(1)1~20以内的所有质数;(2)我国从1991~2005年的15年内所发射的所有人造卫星;(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;(4)2004年1月1日之前与我国建立立外交关系的所有国家;(5)所有的正方形;(6)到直线l的距离等于定长3cm
3、的所有点;(7)方程x2+3x+2=0的所有实数解;(8)华侨中学2005年9月入学的所有高一学生.归纳总结这些例子,你能说出它们的特征吗?说明:(1)集合是一个原始的、不加定义的概念,我们不能用其他的概念下定义,只能作描述性说明,如同点、直线、平面等也都是不加定义的原始概念,构成了整个数学大厦的基石,要形象地理解,而不必记忆。二、集合的描述性定义:把研究对象统称为元素.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(3)集合理论是由德国数学家康托尔发现的,他创造的集合论是近代许多数学分支的基础.(2)集合是一个整体,已暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义。因此一些对象一旦组成了集合,那么这
4、个集合就是这些对象的全体,而非个别对象。(1)确定性:对于一个给定的集合,任何一个元素是不是这个集合的元素就确定了。三、集合的特征:思考:“我国的小河流”、“比较大的数”、“好心的人”等能组成集合吗?如:应把集合{1,2,2}改写成(2)互异性:对于一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.如:集合{1,2,3}和{1,3,2}表示同一集合。{1,2}.说明:(1)确定性是判定元素能否构成集合的唯一标准.(2)元素中含
5、参数的集合运算题,最终结果务必检验元素的互异性,利用互异性将不适合题意的参数值舍掉.(3)在利用两集合相等进行有关计算时,常常根据集合中元素的无序性进行分类讨论,最终仍然莫忘对元素互异性的检验.四、元素与集合之间的关系:若a是集合A的元素,若a不是集合A的元素,例如:A={1,2,3,4,5},则3∈A,就说a属于集合A,记作a∈A;则a不属于集合A,记作aA.集合常用大写字母A,B,C,D,……标记,元素常用小写字母a,b,c,d,……标记。集合的相等:构成两个集合的元素完全一样.五、常用数集及其记法:数的集合简称数集。注意:自然数集包括0一些常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)
6、记作_______;正整数集记作______________;整数集记作_______;有理数集记作______;实数集记作________.NN*或N+ZQR六、集合的常用表示方法:方法一:列举法——把集合中的元素一一列举出来,写在花括号{}内表示集合的方法。“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为:{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.方程x2-x=0的所有实数解组成的集合可以表示为:{0,1}.用列举法表示集合应注意以下五点:(1)元素间用分隔号“,”;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;(4)元素不能遗漏;(5)列举法可表示有限集,也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单;若
7、集合中元素个数较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示,如正整数集合可表示为{1,2,3,4,…}.例1:用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有质数组成的集合__________;(2)由大于3小于10的整数组成的集合___________________;(3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________.{2,3,5,7}{4,5,6,7,8,9}{-4,4}思考:(1)