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1、§3.2条件分布与随机变量的独立性一、条件分布设X是一随机变量,为在事件A发生的条件下，满足称条件概率是一随机事件，记X的条件分布函数.如与独立性例掷一颗骰子，X是出的点数,X是随机变量.表示:“”,且且为在事件A发生的条件下，X的条件分布函数.且时,设Y且对于实数则同理,且若则且是另一随机变量,与独立事件与独立独立性:事件定义3.6如果对任意实数有则称随机变量X与Y与设随机向量(X，Y)的联合分布函数为相互独立.定义3.6如果对任意实数有则称随机变量X与Y相互独立.与设随机向量(X，Y)的联合分布函数此时且时,时,同理，为定理3.1随机变量X
2、与Y的充要条件是事件与相互独立.对任意实数集A与B,即定理3.2如果随机变量X与Y相互独立,则对于任意连续函数随机变量与也相互独立.和相互独立X与Y独立对任意实数集A与B,定义3.7设是n个随机变量,联合分布函数为边缘分布函数为恒有如果对任则称相互独立.二、离散型随机变量的条件分布设(X，Y)是二维离散型随机向量,概率分布为若对某个有则且记与独立性称为条件下,X的条件概率分布.在其定义此时，有定义设(X，Y)是二维离散型随机向量,若对有则称固定的为条件下,X的条件概率分布.在如设(X，Y)的概率分布为则在条件下，X的条件概率分布为定义设(X，Y
3、)是二维离散型随机向量,若对有则称固定的为条件下,Y的条件概率分布.且在此时，有记例设X与Y的联合分布为写出X=0时，Y的条件分布.解例设X与Y的联合分布为写出X=1时，Y的条件分布.解定理3.3则X与Y相互独立分布设X与Y是离散型随机变量，其联合概率分布为边缘分别为的充要条件是例设X与Y的联合概率分布为且X与Y独立，-11012求p，q解解出由联合分布,可求出边缘分布;但由边缘分布,一般不能确定联合分布.如012012012012但若已知X与Y则可由边缘分布,确定它们的联合分布.相互独立,例设随机变量X与Y相互独立，概率分布分别为则以下结论正
4、确的是以上都不正确.解下表列出二维随机向量的联合分布律及边缘分布律的部分数值,将其余数值填入空白处.例设随机变量与独立,三、连续型随机变量的条件分布与独立性称为条件下,X的条件密度函数.称为条件下,Y的条件密度函数.定义记记例设X和Y的联合密度函数为其它求条件密度函数.解时,其它例设X和Y的联合密度函数为求条件密度函数.解时,y取其它值其它当时，或不存在.当其它解时，时，求条件密度函数.其它例其它解求条件密度函数.其它时,或解例其它求条件密度函数.其它当时，或不存在.当定理3.4设连续型随机向量(X，Y)的密度边缘密度分别为和的充分必要条件是则
5、X与Y相互独立函数为设1)求A的值;D是由曲线直线及轴围成的图形在第一象限内的部分,随机向量有联合密度其它2)求X及Y的边缘密度；3)X与Y是否独立？例1)求A的值;解设D是由曲线直线及轴围成的图形在第一象限内的部分,随机向量有联合密度其它例2)求边缘密度.解时,其它其它解时,其它2)求边缘密度.其它3)X与Y是否独立？解已求出(X,Y)的边缘密度为其它其它其它与不独立.其它例设求:1)2)方程解：1)与独立,其它的联合密度；有实根的概率.因为与独立,所以且其它有实根2)方程且其它
