条件分布与二维随机变量的独立性

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1、在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.条件分布第二讲条件分布与随机变量的独立性例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现在若限制1.7

2、，然后在挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.一、离散型r.v的条件分布列实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布列.P(X=xi

3、Y=yj)=，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布列.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.条件分布列是一种概率分布

4、列，它具有概率分布列的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,…例1一射手进行射击，击中目标的概率为p，(0

5、n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于n次射击击中2nn-11……………….m击中每次击中目标的概率为pP(X=m,Y=n)=？为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布列是：m=1,2,…Y的边缘分布列是：n=2,3,…于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1联合分布列边缘分布列n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，二、连续型r.v的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.

6、定义2设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使的x,定义已知X=x下，Y的条件密度函数为同样，对一切使的y,定义为已知Y=y下，X的条件密度函数.我们来解释一下定义的含义：将上式左边乘以dx,右边乘以(dxdy)/dy即得以为例换句话说，对很小的dx和dy，表示已知Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.定义在已知Y=y下，X的条件分布函数为特别，取即:若(X,Y)是连续型

7、r.v,则对任一集合A，求P(X>1

8、Y=y)例2设(X,Y)的概率密度是解:P(X>1

9、Y=y)为此,需求出由于于是对y>0,故对y>0,P(X>1

10、Y=y)例3设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求解：X的边缘密度为当

11、x

12、<1时,有例4设r.vX在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0

13、度，求联合密度随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是：用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X,Y的联合密度，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.若(

14、X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即例1设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>0即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>0若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0