条件分布与随机变量的独立性

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1、一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布四、小结§2.5条件分布与随机变量的独立性三、随机变量的独立性1问题考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布。现在如果限制Y取值从1.5m到1.6m，在这个限制下求X的分布。2设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为一、离散型随机变量的条件分布3设考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，即求下列事件的概率由条件概率公式4定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，

2、若P{Y=yj}>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律,5例16解由上述分布律的表格可得78例2一射手进行射击,击中目标的概率为p(0

3、求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量(X,Y)的概率分布。12解13二、连续型随机变量的条件分布有问题，14设则有15条件概率密度及分布函数的定义1617答请同学们思考由于P{Y=y}可能为0（连续型时一定为0）。故直接使用条件概率来定义时无法克服分母为0的现象。18说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布19解例4则2021解例52223例6已知求解24同理二维正态分布的两个条件分布均为一元正态分布25即则称随机变量X和Y是相互独

4、立的。三、随机变量的相互独立性二维随机变量间的相互独立性定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有26说明(1)若对任意的x,y成立，则证明由于27(2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为28解例729(1)由分布律的性质知30特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有31因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.例8设两个独立的随机变量X与Y的分布律为3233若X与Y相互独立，则取则X与Y相互独立的充要条件是例9（必要性）证明34故将代入即得（充分

5、性）35解由于X与Y相互独立,例103637例11一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解3839于是40例12设随机变量X和Y相互独立，而且都服从相同的0-1分布B(1,p)。又设试求p(0

6、随机变量(X,Y)的联合分布律为48