边际分布与随机变量的独立性.ppt

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1、§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，如何求出X和Y各自的分布？3.2.1边际分布函数巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则YFY(y)=F(+,y).XFX(x)=F(x,+),边缘分布的几何意义FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。OxxOxyyy补例5设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A，B，C为常数，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)试确定A，B

2、，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2)解(1)由联合分布函数性质2可知解得(2)(3)由X的分布函数可得故3.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则X的分布列为：Y的分布列为：以表格形式表示为YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi1…pij……………………P(Y=yj)……1把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设均不可能，因而相应的概率均为0可由对称性求得再由古典概率计算得：所有计算结果列表如下：(X,Y)关于

3、Y的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律例3.2.2已知(X,Y)的分布律为故关于X和Y的边缘分布律分别为：求X、Y的边缘分布律。YX1011/103/1003/103/10YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解3.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则X的密度函数为：Y的密度函数为：例3.2.3设二维随机变量(X,Y)的密度函数为试求：（1）边缘密度函数pX(x)和pY(y);（2）P(X<1/2)及P(Y>1/

4、2).由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.注意点(1)二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N(1,2,12,22,)，注意点(2)则XN(1,12)，YN(2,22).二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.例设(X,Y)服从区域D={(x,y),x2+y2<1}上的均匀分布，求X的边际密度p(x).解:由题意得xy-11当

5、x

6、>1时，p(x,y)=0，所以p(x)=0当

7、x

8、≤1时,不是均匀分布练习1设二维随机变量求边缘密度函数f

9、X(x)和fY(y)解当0

10、机变量(X,Y)的联合分布律为注意点(3)X与Y是独立的其本质是：对任意实数a,b,c,d，有(4)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.例3.2.6(X,Y)的联合分布列为:X01Y010.30.40.20.1问X与Y是否独立？解:边际分布列分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5因为所以不独立例3.2.7已知(X,Y)的联合密度为问X与Y是否独立？所以X与Y独立。注意：p(x,y)可分离变量.解:边际分布密度分别为:解例3.2.8于是(X,Y)关于X的边缘概率密度为练习1若二维随机变量证明X与Y相互独立

11、的充分必要条件为=0证(X,Y)的联合密度函数为边缘密度函数为f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是=0，而X与Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。注意点(1)(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.(2)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立.(3)联合密度p(x,y)的表达式中，若x的取值与y的取值有关系，则X与Y不独立.注意点(2)(4)若联合密度p(x,y)可分离变量，即p(x,y)=g(x)h(y)则X与Y独立。(5)若(X,Y)服从二元正态N(

12、1,2,12,22,)则X与Y独立的充要条件是=0.习题1设袋中有a+b个球，a只红球，b只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球c只，然后再从袋中任取一球，设求二维随机变量(X,Y)的分布律。解X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。