机器人模型与控制-4静力学模型

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1、4.静力学模型讨论操作臂在静止状态下的受力平衡关系，操作臂在关节驱动力/力矩和外力（操作臂自身重力和末端手爪所受的力/力矩）的作用下处于平衡状态。完整的力学平衡方程。讨论关节驱动力或力矩与末端手爪施加的力/力矩之间的传递关系，操作臂的每个关节都由单独的电机或液压缸驱动，关节驱动力或力矩通过连杆传递到末端手爪。力控制的基础。讨论力/力矩在不同坐标系间的变换关系，力/力矩可以描述到任意坐标系中，由于力为线矢量，在不同坐标系中描述需要将其作用点进行平移，这会产生力矩的变化。讨论外界作用力/力矩与操作臂

2、的变形之间的关系（即刚度），这里假设连杆为刚性，变形只存在于关节驱动和传动环节。操作臂的刚性是影响动态特性和作业精度的一项重要指标，同时对柔顺控制也起着重要作用。4.1连杆的受力和平衡方程•以连杆i为研究对象，其受力如下：ifi＝[fi,xfi,yfi,z]T为连杆i-1作用在连杆i上的力（相对于坐标系{i}），作用点为Oi；imi＝[mi,xmi,ymi,z]T为连杆i-1作用在连杆i上的力矩（相对于坐标系{i}）；i+1fi+1＝[fi+1,xfi+1,yfi+1,z]T为连杆i作用在连杆i

3、+1上的力（相对于坐标系{i+1}），作用点Oi+1；i+1mi+1＝[mi+1,xmi+1,ymi+1,z]T为连杆i作用在连杆i+1上的力矩（相对于坐标系{i+1}）；miig为连杆i的重力；g为重力加速度矢量，当参考坐标系的Z轴铅直向上时,相对于参考坐标系有0g＝[00-g]T，相对于坐标系{i}有；irci为连杆i的质心位置矢量（相对于坐标系{i}）；iPi+1为坐标系{i}原点指向坐标系{i+1}原点的矢量（相对于坐标系{i}）。将各力/力矩均变换到坐标系{i}下（注意：力为线矢量这里

4、只做方向变换）建立力的平衡方程将各力矩变换到坐标系{i}中，各力对坐标系{i}原点Oi取矩，建立力矩的平衡方程操作臂的受力和关节驱动力整个操作臂的受力分析从末端连杆开始，逐级向前。通常操作臂末端手爪受力可知，假设末端所受的力和力矩作用在手爪坐标系原点，在手爪坐标系中表示为tF和tM。则末端连杆力和力矩平衡方程由平衡方程得到连杆n-1作用在连杆n上的力nfn和力矩nmn。如果末端作用力和力矩在参考坐标系中表示为F和M，则上面力学平衡方程变为进一步，建立连杆n-1的力和力矩平衡方程由平衡方程得到连杆

5、n-2作用在连杆n-1上的力n-1fn-1和力矩n-1mn-1依此类推，可以得到基座（连杆0）上的力0f0和力矩0m0。至此，整个操作臂的受力分析结束，得到基座受力0f0和0m0，以及连杆受力ifi和imi(i＝1～n)。由连杆受力可以进一步得到关节驱动力或力矩。若关节i为移动关节，沿着iZi轴方向的力为关节驱动力，由关节驱动器提供，其它均由机械构件承受；若关节i为转动关节，绕着iZi轴方向的力矩为关节驱动力矩，由关节驱动器提供，其它均由机械构件承受。则关节驱动力或力矩为（移动关节）（转动关节）

6、，，例：如图所示的二杆平面机器人，建立相应的坐标系。已知，外界对机器人手的作用力（手爪坐标系与坐标系{2}重合）为求各杆件间的相互作用力（矩）和关节力矩。解：关节力矩4.2等效关节力和力雅可比•通过对机械臂静力建模，可以得到各关节的驱动力或力矩与末端受力的传递关系（由静力递推公式先求得各连杆的受力与末端受力及重力的关系，再取出关节力或力矩分量，忽略重力即可得），写成矩阵形式其中：为关节驱动力或力矩矢量为末端输出外力和外力矩组成的广义力矢量JF为力雅可比矩阵•力雅可比矩阵JF与速度雅可比矩阵J之间

7、有什么关系？各关节所做虚功的之和为令各关节的虚位移（满足机械系统几何约束条件的无限小位移）矢量为令末端手爪相应虚位移为末端手爪所做地虚功为根据虚功原理，操作臂在平衡情况下，关节驱动力或力矩在关节空间所做虚功等于末端手爪输出力和力矩在操作空间所做虚功根据速度雅可比关系虚功方程变为与式比较，得到力雅可比矩阵为速度雅可比矩阵的转置当J不满秩时，沿某些方向末端手爪力或力矩处于失控状态，不能输出所需要的力或力矩，这些方向的外力或力矩只能通过机械构件被动平衡。4.3不同坐标系间的静力变换如果广义力在坐标系{

8、A}中表述为，的作用点在坐标系{A}的原点OA。现在要将其等效地在坐标系{B}中表述，即将其平移变换到坐标系{B}中。如图所示，BPOA为OB指向OA的矢量在坐标系{B}中的表达，坐标系{A}与坐标系{B}间的齐次变换矩阵为OAOBXBYBZBXAYAZAAfAmBPOA首先，将AF的各分量方向变换到坐标系{B}中为再将其平移到坐标系{B}原点OB得到将叉乘写成反对称矩阵矩阵形式S(BPOA)，可以得到广义力在坐标系{A}和{B}之间的变换关系根据虚功原理，同样可以得到上式变换关系。若刚体做无限