机器人模型与控制-3运动学速度关系

《机器人模型与控制-3运动学速度关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.微分运动与雅可比（速度关系）3.1引例例3-1图示R-P平面机械手，有两个关节，一个旋转关节（θ），一个移动关节（r）。运动方程为方程两边对时间t求导写成矩阵形式运动方程为方程两边对时间t求导写成矩阵形式例3-2图示2R平面机械手，有两个平行的转动关节(θ1,θ2)运动方程为方程两边对时间t求导写成矩阵形式逆雅可比矩阵为，即θ2＝0或π时处于奇异状态，此时完全伸直或完全缩回。当l1>l2时，可达工作空间为两个同心圆中间的部分，半径分别为l1＋l2和l1-l2。在边界上机器人处于奇异形位（singularconfiguration），速度关系方程变为(若θ2＝0)退化为一个自由度，其末

2、端只能沿圆切线方向运动。θ1θ2l1l2l1+l2l1-l2逆雅可比矩阵为，即θ2＝0或π时处于奇异状态，此时完全伸直或完全缩回。当l1>l2时，可达工作空间为两个同心圆中间的部分，半径分别为l1＋l2和l1-l2。在边界上机器人处于奇异形位（singularconfiguration），速度关系方程变为(若θ2＝0)退化为一个自由度，其末端只能沿圆切线方向运动。逆雅可比矩阵为，即θ2＝0或π时处于奇异状态，此时完全伸直或完全缩回。当l1>l2时，可达工作空间为两个同心圆中间的部分，半径分别为l1＋l2和l1-l2。在边界上机器人处于奇异形位（singularconfiguration），

3、速度关系方程变为(若θ2＝0)退化为一个自由度，其末端只能沿圆切线方向运动。θ1θ2l1l2l1+l2l1-l2从例子可以看出：（1）将机器人的运动学方程对时间求导，即可得到它的雅可比矩阵和逆雅可比矩阵；（2）雅可比矩阵表示从关节空间运动到操作空间运动速度传递的广义传动比；（3）用雅可比矩阵可以判别机器人的奇异形位；（4）用雅可比矩阵可以分析机器人的运动特征和动力学特征。雅可比矩阵具有如下特点：（1）依赖于机器人形位q的线性变换矩阵；（2）不一定是方阵，可能是长矩阵（冗余驱动），也可能是高矩阵（欠驱动或少自由度）；（3）其行数等于机器人在操作空间的维数（平面3行，空间6行），列数等于关节数

4、；对于一般的6自由度机器人，其雅可比矩阵的计算比较复杂。操作空间与关节空间之间的速度具有如下形式雅可比矩阵的含义：（1）空间操作臂雅可比矩阵的前3行代表对手爪线速度的传递，后3行代表对手爪角速度的传递，每一列代表相应的关节速度对手爪线速度和角速度的影响。（2）手爪的线速度和角速度为关节速度的线性函数（3）机器人的雅可比矩阵可写成分块的形式式中：JLi代表第i个关节的速度引起的手爪的线速度；JAi代表第i个关节的速度引起的手爪的角速度。雅可比矩阵的确定通常采用两种构造性的方法：（1）矢量积法——基于矢量的叉积推导机器人的雅可比，是相对于基坐标系表示的；（2）微分变换法——利用操作空间与关节空

5、间中的微分运动关系构造机器人的雅可比，是相对于运动坐标系（通常为末端坐标系）表示的。在给出两种构造性方法之前，分别先介绍相关的理论基础。3.2变换矩阵的导数3.2.1反对称矩阵•设S是一个n×n的矩阵，如果S满足，则称S为反对称矩阵。•反对称矩阵的对角线矩阵为0，只有n个独立元素；•定义3×3反对称矩阵空间so(3)，，有如下形式•反对称矩阵与矢量有如下关系其中：，S可看作是对矢量a的运算算子•反对称矩阵的性质（1）算子S的运算是线性的，即对于，和任意标量，有（2）反对称矩阵与矢量叉乘的关系：对于，有（3）对于旋转矩阵和，有•反对称矩阵的性质（1）算子S的运算是线性的，即对于，和任意标量，

6、有（2）反对称矩阵与矢量叉乘的关系：对于，有（3）对于旋转矩阵和，有旋转矩阵，满足以下性质：的各列（各行）是互相垂直的的每一列（每一行）都是单位向量•反对称矩阵的性质（1）算子S的运算是线性的，即对于，和任意标量，有（2）反对称矩阵与矢量叉乘的关系：对于，有（3）对于旋转矩阵和，有证明：利用和性质（2），有（4）对于，有3.2.2旋转矩阵的导数•设旋转矩阵R是关于单变量θ的函数（旋转变换通式），有将上式两边对θ求导，得定义矩阵S为因为，有，所以将矩阵S右乘旋转矩阵R，得到•用定义式求解S同理，当R＝Ry,θ和R＝Rz,θ分别有和•对于R＝Rx,θ，有•对于一般情况R＝RK,θ，利用

7、旋转变换通式，有3.2.3角速度•设旋转矩阵R是关于单变量θ的函数，对时间求导有其中•对于多级旋转变换利用，得到进一步扩展，得到对于齐次变换矩阵•由其中的旋转矩阵即可求得上述角速度关系式，它表示末端连杆角速度与各相邻连杆间角速度的关系。3.2.4线速度•设末端手抓在坐标系{n}中的位置矢量为，通过齐次变换得到将展开将其求导得到末端手抓的线速度3.2.5机械臂末端手爪的速度•末端手抓的角速度与连杆n的角速度一样；•末端手抓