机器人模型与控制-0前言1齐次变换

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1、机器人模型与控制参考教材：1.【ROBOTDYNAMICSANDCONTROL】MW.SPONG,JOHNWILEY&SONS,20042.【机器人学】熊有伦等编著机械工业出版社1993内容前言相关基础知识：齐次变换运动学：位置关系和速度关系静力学动力学0.前言通过机器实现人的能力思维能力动作能力模拟人脑：语言交流、图像识别、决策系统、博弈机等模仿人的肢体模仿其它生物模仿非生物机构、传感、控制机器人控制机器人模型力学柔性刚性多刚体力学以工业机器人（关节型的机械臂）为代表研究对象运动学关系：位置、速度静力学关系动力学模型运动规划控制算法控制仿真机器人模型

2、1.齐次变换与刚体位姿描述什么是齐次变换？*描述坐标系与坐标系之间姿态（角度）关系和位置关系的数学工具；*是以矩阵形式表达的；*也可以理解为旋转变换矩阵（表达姿态）的扩展。齐次变换在机器人学中有什么用？*机器人是多刚体系统（机械臂是多个连杆（刚体）由关节连接而成的）*在每个刚体上定义一个坐标系；*刚体内的各点之间的运动学关系固定不变，在该坐标系内表示；*各刚体间及与环境间的位姿关系因关节运动而改变，以齐次变换表达刚体（坐标系）间的位姿关系。1.1刚体位姿描述在刚体上定义坐标系，通过坐标系在参考坐标系中的位置和姿态表达，来描述刚体位姿。XAYAZAOAX

3、BYBZBOBP1P1APOB一、位置描述－位置矢量通常以刚体上特征点（与刚体固连的坐标系原点OB）的位置矢量来表示刚体的位置XAYAZAOAXBYBZBOBP1P1APOB刚体内部的点通常先在刚体坐标系中表示，如果想表达在参考坐标系下，需通过进一步坐标变换（后续将提到）。二、方向（姿态）描述－旋转矩阵角度表示法（综合法，不方便运算，这里不讨论）旋转矩阵法：刚体坐标系{B}各坐标轴相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵，或者坐标系{B}各坐标轴上的单位矢量相对于坐标系{A}的矢量表达组成的3×3矩阵。XAYAZAOAXBYBZBOBP1P1AP

4、OB旋转矩阵的性质：单位主矢量正交条件右手法则中9个元素，只有3个是独立的；常用的旋转矩阵：YA,YBZAZBXAXBOAOBθθXA,XBZAZBYAYBOAOBθθZA,ZBYAYBXAXBOAOBθθ三、刚体位姿描述－坐标系的描述刚体相对于参考坐标系{A}的位姿：可以用与刚体固连的坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的旋转矩阵和位置矢量复合在一起来表达XAYAZAOAXBYBZBOBP1P1APOB四、手爪位姿的描述定义一个与手爪固连的手爪坐标系{T}，以{T}相对于参考坐标系{A}位姿来描述手爪位姿Z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量a（ap

5、proach）；Y轴设在两手指的联线方向，称为方位矢量o（orientation）；X轴根据右手法则确定：n＝o×a，称为法向矢量n（normal）。YAXAOAa（ZT）o（YT）n（XT）APOTOTZA，其中1.2点的映射空间中的点在不同坐标系中的描述是不同的，利用不同坐标系之间的位姿关系，将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系。一、坐标平移（平移映射）两个坐标系的方向相同，但坐标原点不重合。如果一点P的位置在坐标系{B}中表示为矢量BP，坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置用矢量APOB表示，则P点在坐标系{A}中的位置可由如下映射得到二、坐标旋

6、转（旋转映射）两个坐标系的坐标原点重合，但方向不相同。如果一点P的位置在坐标系{B}中表示为矢量BP，坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态用矩阵BAR表示，则P点在坐标系{A}中的位置可由如下映射得到反过来有其中：三、一般映射（复合映射）两个坐标系的原点不重合，方向也不相同。如果一点P的位置在坐标系{B}中表示为矢量BP，坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和姿态分别用矢量APOB和矩阵BAR表示，则P点在坐标系{A}中的位置可由如下映射得到复合映射：平移+旋转变换通式：为旋转变换为平移变换定义过度坐标系{C}：方向与{A}相同，原点与{B}重合。例：

7、已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先将{B}相对于{A}的Z轴旋转30度，再沿{A}的XA轴移动10单位，并沿{A}的YA轴移动5单位。求位置映射矢量和旋转映射矩阵；若某点在{B}中的坐标为（3,7,0），求其在中的坐标。例：已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先将{B}相对于{A}的Z轴旋转30度，再沿{A}的XA轴移动10单位，并沿{A}的YA轴移动5单位。求位置映射矢量和旋转映射矩阵；若某点在{B}中的坐标为（3,7,0），求其在中的坐标。1.3齐次坐标和齐次变换一、齐次坐标所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示

8、；在3维欧氏空间中，空间一点P直角坐标齐次坐标齐次坐标的表示并不唯一，各元素同乘非零ω，仍表示